Question

如图，在∠AOB外有一点P，先作点P关于直线OA的对称点P₁，再作点P关于直线OB的对称点P₂．
（1）试猜想∠P₁OP₂与∠AOB的数量关系，并加以证明；
（2）当点P在∠AOB内部时，上述结论是否成立？画图加以证明．

Answer 1

考点：轴对称的性质

专题：

分析：（1）利用轴对称图形的性质得出相等的角，进而得出∠P₁OP₂=∠3+∠4=∠1+∠2+2∠3=2∠2+2∠3=2（∠2+∠3）即可得出答案；
（2）利用轴对称图形的性质得出相等的角，进而得出∠P₁OP₂=∠1+∠2+∠3+∠4=2（∠2+∠3）即可得出答案．

解答：解：（1）∠P₁OP₂=2∠AOB，
理由：如图1，∵点P关于直线OA的对称点P₁，点P关于直线OB的对称点P₂，
∴∠1=∠2，∠POB=∠BOP₂，则∠1+∠2+∠3=∠4，
∴∠P₁OP₂=∠3+∠4=∠1+∠2+2∠3=2∠2+2∠3=2（∠2+∠3）=2∠AOB；

（2））∠P₁OP₂=2∠AOB，
理由：如图2，∵点P关于直线OA的对称点P₁，点P关于直线OB的对称点P₂，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠P₁OP₂=∠1+∠2+∠3+∠4=2（∠2+∠3）=2∠AOB．

点评：此题主要考查了轴对称图形的性质，利用对称得出相等的角是解题关键．