Question

如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC和∠BCD的平分线的交点E在AD上．
求证：
（1）点E是AD的中点；   
（2）BC=AB+CD．

Answer 1

考点：梯形,全等三角形的判定与性质,角平分线的性质

专题：证明题

分析：延长CE交BA的延长线于点F，即可证明△BCF是等腰三角形，BE是底边上的高，即可证明CE=FE，然后证明△DCE≌△AFE，即可证得．

解答：证明：延长CE交BA的延长线于点F．
∵CE和BE分别是∠ABC和∠BCD的平分线，即∠ECB=

1

2

∠DCB，∠EBC=

1

2

∠CBA，
又∵AB∥CD，
∴∠DCB+∠CBA=180°，
∴∠ECB+∠EBC=90°，
∴∠CEB=90°，即BE⊥EC，
∵AB∥CD
∴∠DCE=∠F，
又∵∠DCE=∠ECB，
∴∠F=∠ECB
∴BF=BC，EC=EF．
在△DCE和△AFE中，

∠DCE=∠F EC=EF ∠DEC=∠AEF

，
∴△DCE≌△AFE，
∴DE=AE，即E是AD的中点，DC=AF，
∴BC=BF=AB+CD．

点评：本题考查了等腰三角形的判定定理，以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线，构造全等的三角形是关键．