题目内容
6．如图1，已知抛物线y=$\frac{1}{2}$x2-$\frac{3}{2}$x-2，与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，顶点为D，点M（$\frac{5}{2}$，0）为抛物线上一点，且N为抛物线上的点，且横坐标为3．（1）求S△ABD的面积；
（2）点E、F是抛物线对称轴上的两个动点（点E在点F下方），且EF=1，当四边形EFMN的周长最小时，过直线ME下方抛物线上的一动点H作y轴的平行线交直线NE于点G，求GH的长度取得最大值时H点的坐标；
（3）如图2，将直线BC绕点B顺时针旋转90°后对称轴交于点I，点P为抛物线一动点，点Q为y轴上一动点，请问是否存在点A、I、P、Q为顶点的平行四边形？若存在，求出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．
分析 （1）先求出抛物线与x，y轴的交点坐标，再用三角形的面积公式计算即可；
（2）先判断出四边形EFMN的周长最小时，FM+EM的最小值为线段M′N′的位置，再确定出函数关系式，判断出极值；
（3）分两种情况讨论，当AI是平行四边形的一条对角线时和AI是平行四边形的一条边，用平行四边形的对角线互相平分和中点坐标公式即可．
解答 解：（1）∵抛物线y=$\frac{1}{2}$x2-$\frac{3}{2}$x-2=$\frac{1}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）2-$\frac{25}{8}$，
∴令x=0，y=-2，
令y=0，得x1=4，x2=-1，
∴A（-1，0），B（4，0）．C（0，-2），D（$\frac{3}{2}$，-$\frac{25}{8}$），
∴S△ABD=$\frac{1}{2}$×AB×|yD|=$\frac{1}{2}$×5×$\frac{25}{8}$=$\frac{125}{16}$，
（2）如图，
∵M（$\frac{5}{2}$，0），N（3，-2），
∴MN=$\frac{\sqrt{17}}{2}$，
∵EF=1，
∴要求四边形EFMN的周长最小，只需FM+EM最小即可，
作矩形KLNR，取M关于对称轴的对称点M′（$\frac{1}{2}$，0）
在RN上取点N′，使NN′=1，
∴N′（3，-1），
连接M′N′交对称轴于点F，过点N作EN∥M′N′于点E，
∴四边形EFN′N是平行四边形，
∴FM+EM的最小值为线段M′N′，
∴直线M′N′的解析式为y=-$\frac{2}{5}$x+$\frac{1}{5}$，
令x=$\frac{3}{2}$，得y=-$\frac{2}{5}$，
∴F（$\frac{3}{2}$，-$\frac{2}{5}$），
∵EF=1且E在F下方，
∴E（$\frac{3}{2}$，-$\frac{7}{5}$），
∴直线ME解析式为y=$\frac{7}{5}$x-$\frac{7}{2}$，
∵$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{7}{5}x-\frac{7}{2}}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{3}{2}x-2}\end{array}\right.$
∴x1=-$\frac{3}{5}$，x2=5，
设H（m，$\frac{1}{2}$m2-$\frac{3}{2}$m-2）（-$\frac{3}{5}$＜m＜5），
∵N（3，-2），E（$\frac{3}{2}$，-$\frac{7}{5}$），
∴直线NE解析式为y=-$\frac{2}{5}$x-$\frac{4}{5}$
∴G（m，-$\frac{2}{5}$m-$\frac{4}{5}$），
∵GH∥y轴，
∴GH=|（$\frac{1}{2}$m2-$\frac{3}{2}$m-2）-（-$\frac{2}{5}$m-$\frac{4}{5}$）|=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}（m-\frac{11}{10}）^{2}-\frac{71}{40}（3≤m＜5）}\\{-\frac{1}{2}（m-\frac{11}{10}）^{2}+\frac{71}{40}（-\frac{3}{5}＜m＜3）}\end{array}\right.$
∴当m=$\frac{11}{10}$时，GH最大，
∴H（$\frac{11}{10}$，-$\frac{609}{200}$），
（3）设抛物线对称轴交x轴于G，则BG=$\frac{5}{2}$，
∵△BOC∽△IGB，
∴$\frac{IG}{OB}=\frac{BG}{OC}$，
∴$\frac{IG}{4}=\frac{\frac{5}{2}}{2}$，
∴IG=5，
∴I（$\frac{3}{2}$，5），
∴AG=$\frac{5}{2}$，
①当AI是平行四边形的一条边时，
设Q（0，m），P（n，$\frac{1}{2}$n2-$\frac{3}{2}$n-2），
∵A（-1，0），I（$\frac{3}{2}$，5），
Ⅰ、当AQ是对角线时，AQ和PI互相平分，
利用中点坐标公式得，-1=n+$\frac{3}{2}$，
∴n=-$\frac{5}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$n2-$\frac{3}{2}$n-2=$\frac{39}{8}$，
∴P1（-$\frac{5}{2}$，$\frac{39}{8}$），
Ⅱ、当AP是对角线时，AP和IQ互相平分，
根据中点坐标公式得，n-1=$\frac{3}{2}$，
∴n=$\frac{5}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$n2-$\frac{3}{2}$n-2=-$\frac{21}{8}$，
P2（$\frac{5}{2}$，-$\frac{21}{8}$），
②如图2，
当AI是平行四边形的一条对角线时，
∵I（$\frac{3}{2}$，5），A（-1，0），
∴IA的中点G（$\frac{1}{4}$，$\frac{5}{2}$），
设Q（0，m），P3（n，$\frac{1}{2}$n2-$\frac{3}{2}$n-2），
∵点A、I、P3、Q为顶点的平行四边形，
∴P3Q也过G点，且平分AI，
∴n=$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$n2-$\frac{3}{2}$n-2+m=5，
∴m=$\frac{61}{8}$，
$\frac{1}{2}$n2-$\frac{3}{2}$n-2=-$\frac{21}{8}$，
∴P3（$\frac{1}{2}$，-$\frac{21}{8}$），
即：P1（-$\frac{5}{2}$，$\frac{39}{8}$），P2（$\frac{5}{2}$，-$\frac{21}{8}$），P3（$\frac{1}{2}$，-$\frac{21}{8}$），
点评 此题是二次函数综合题，主要考查了函数图象的交点坐标的确定，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，函数极值的确定方法，解本题的关键是利用相似确定线段的长．
如图，在正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则tan∠ACB的值为$\frac{3}{5}$．
已知正方形ABCD中，F为对角线BD（不含B点）上任意一点，△ABE为正三角形，若BF=BG且∠FBG=60°，连接EG、AF、CF．