Question

1．已知正方形ABCD中，F为对角线BD（不含B点）上任意一点，△ABE为正三角形，若BF=BG且∠FBG=60°，连接EG、AF、CF．
（1）求证：EG=CF；
（2）当F点在何处时，AF+CF的值最小，并说明理由；
（3）当F点在何处时，AF+CF+BF的值最小，并说明理由；
（4）AF+CF+BF的值最小为$\sqrt{3}+1$时，求正方形的边长．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质得到∠ABF=∠CBF=45°，AB=BC，由△ABE是等边三角形，得到AB=BE，∠ABE=60°，等量代换得到BE=BC，∠EBG=∠CBF，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据两点之间线段最短，即可得到A，F，C三点共线时，AF+CF的值最小．
（3）连接CE，当F点位于BD与CE的交点处时，AF+CF+BF的值最小，通过全等三角形得到AF=EG，由已知条件得到△BGF是等边三角形．求出BF=GF．推出AF+BF+CF=EG+GF+CF．根据“两点之间线段最短得到EG+GF+CF=EC最短；于是得到结论；
（4）过E点作EM⊥BC交CB的延长线于M，由题意求出∠EBM=30°，设正方形的边长为x，在Rt△EMC中，根据勾股定理求得正方形的边长为$\sqrt{2}$．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABF=∠CBF=45°，AB=BC，
∵△ABE是等边三角形，
∴AB=BE，∠ABE=60°，
∵∠GBF=60°，
∴∠EBG=∠ABF，∴BE=BC，∠EBG=∠CBF，
在△BEG与△CBF中，$\left\{\begin{array}{l}{BE=BC}\\{∠EBG=∠CBF}\\{BG=BF}\end{array}\right.$，
∴△EBG≌△CBF，∴EG=CF；

（2）当F点落在BD的中点时，A，F，C三点共线，由两点之间，线段最短得AF+CF的值最小；

（3）如图1，连接CE，当F点位于BD与CE的交点处时，AF+CF+BF的值最小，
理由如下：连接FG，在△AFB与△EGB中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BE}\\{∠ABF=∠EBG}\\{BF=BG}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△EBG，
∴AF=EG，
∵∠GBF=60°，GB=FB，
∴△BBGF是等边三角形．
∴BF=GF．
∴AF+BF+CF=EG+GF+CF．
根据“两点之间线段最短”，得EG+GF+CF=EC最短；
∴当F点位于BD与CE的交点处时，AF+BF+CF的值最小，即等于EC的长；

（4）解：过E点作EM⊥BC交CB的延长线于M，
∴∠EBM=90°-60°=30°，
设正方形的边长为x，则BM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，EM=$\frac{x}{2}$，
在Rt△EMC中，
∵EM²+MC²=EC²，
∴（$\frac{x}{2}$）²+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+x）²=（$\sqrt{3}$+1）²．
解得，x=$\sqrt{2}$（舍去负值）．
∴正方形的边长为$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理，熟练掌握两点之间线段最短是解题的关键．