Question

1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x²-2x-3的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点在原点右侧，与y轴交于C点，点P是x轴下方的抛物线上的一动点．
（1）求A、B、C三点坐标；
（2）当点P运动到什么位置时，CP∥AB，且AC=BP，直接写出此时P点的坐标：P（2，-3）
（3）连接PO、PC，并把抛物线沿CO翻折，此时，可得到四边形POP'C，那么，是否存在点P，使四边形POP'C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数y=x²-2x-3的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点在原点右侧，与y轴交于C点，从而可以求得A、B、C三点坐标；
（2）根据二次函数的图象具有对称性，由点C的坐标和对称轴即可得到点P的坐标；
（3）根据菱形的性质和二次函数图象上点的特征，翻折的性质即可求得使四边形POP'C为菱形的点P的坐标．

解答 解：（1）∵y=x²-2x-3，
∴当y=0时，0=x²-2x-3，得x₁=-1，x₂=3，
当x=0时，y=-3，
∴点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，-3）；
（2）∵CP∥AB，且AC=BP，点C（0，-3），y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∴点P的坐标为（2，-3），
故答案为：（2，-3）；
（3）存在点P，使四边形POP'C为菱形，
∵四边形POP'C为菱形，
∴PP′⊥OC，且PP′平分OC，
∵点O（0，0），点C（0，-3），
∴点P的纵坐标为y=-1.5，
将y=-1.5代入y=x²-2x-3，得
-1.5=x²-2x-3，
解得，x₁=$1+\frac{\sqrt{10}}{2}$，x₂=$1-\frac{\sqrt{10}}{2}$，
即点P的坐标为（$1+\frac{\sqrt{10}}{2}，-1.5$）或（$1-\frac{\sqrt{10}}{2}，-1.5$）．

点评 本题考查二次函数综合题、菱形的性质、翻折的性质，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合和二次函数以及翻折的性质解答．