Question

11．如图，△ABC中，AB=AC=2$\sqrt{5}$，BC=8，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，设△BDE的面积为S₁，四边形ADEC的面积为S₂，则$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$的值等于$\frac{5}{27}$．

Answer 1

分析 过A作AE⊥BC于E，根据等腰三角形的性质得到BE=CE=4，由DE垂直平分AB，得到BD=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{5}$，根据相似三角形的性质得到$\frac{{S}_{△BED}}{{S}_{△ABE}}$=（$\frac{BD}{BE}$）²=$\frac{5}{16}$，求得$\frac{{S}_{△BED}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{5}{32}$，于是得到结论．

解答 解：过A作AE⊥BC于E，
∵AB=AC=2$\sqrt{5}$，BC=8，
∴BE=CE=4，
∵DE垂直平分AB，
∴BD=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{5}$，
∵∠BDE=∠AEB=90°，∠B=∠B，
∴△BED∽△ABE，
∴$\frac{{S}_{△BED}}{{S}_{△ABE}}$=（$\frac{BD}{BE}$）²=$\frac{5}{16}$，
∵S_△ABC=2S_△ABE，
∴$\frac{{S}_{△BED}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{5}{32}$，
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{5}{27}$．
故答案为：$\frac{5}{27}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．