Question

如图1，AD为⊙O的直径，B、C为⊙O上两点，点C在

AB

上，且

AB

=

CD

，过A点作⊙O的切线，交DB的延长线于点E，过点E作DC的垂线，垂足为点F．
（1）求证：∠AED=∠ADF；
（2）探究BD、BE、EF三者之间数量关系，并证明；
（3）如图2，若点B在

AC

上，其余条件不变，则BD、BE、EF三者之间又有怎样的数量关系？请证明；
（4）在（3）的条件下，当AE=3，⊙O半径为2时，求EF的长．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：（1）连接AC，如图1，由

AB

=

CD

可得

AC

=

BD

，从而有∠ADF=∠DAB．然后利用切线的性质和圆周角定理即可得到∠AED=90°-∠ADB=∠DAB=∠ADF﹒
（2）连接AB、AC，过点E作EP⊥AC，交AC的延长线于点P，如图1′．易证△AEP≌△EAB，则有AP=EB．易证四边形PEFC是矩形，则有EF=CP．由

AB

=

CD

可得

AC

=

BD

，从而得到BD=AC，即可证到BD=BE-EF．
（3）连接AC、AB，过点A作AM⊥EF，交FE的延长线于点M，如图2，则有∠M=90°．易证四边形ACFM是矩形，则有AC=MF，∠CAM=90°．易证△AME≌△ABE，则有ME=BE由

AB

=

CD

可得

AC

=

BD

，从而有AC=BD，即可证到BD=BE+EF．
（4））运用勾股定理可求出DE，运用面积法可求出AB，然后运用勾股定理可求出BD，从而可求出BE，然后利用BD=BE+EF就可求出EF长．

解答：解：（1）连接AC，如图1．
∵

AB

=

CD

，
∴

AC

=

BD

，
∴∠ADF=∠DAB．
∵AE与⊙O相切于点A，∴∠DAE=90°．
∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD=90°，
∴∠AED=90°-∠ADB=∠DAB=∠ADF﹒

（2）BD=BE-EF．
证明：连接AB、AC，过点E作EP⊥AC，交AC的延长线于点P，如图1′．
∵AD是⊙O的直径，AE与⊙O相切于点A，
∴∠ABD=∠ACD=∠DAE=90°，
∴∠PAE=90°-∠DAC=∠ADF，
∵∠AED=∠ADF（已证），
∴∠PAE=∠AED．
在△AEP和△EAB中，

∠APE=∠EBA ∠PAE=∠AEB AE=EA

，
∴△AEP≌△EAB（AAS），
∴AP=EB．
∵EF⊥DF，∠PCF=∠ACD=90°，∠P=90°，
∴∠F=∠PCF=∠P=90°，
∴四边形PEFC是矩形，
∴EF=CP．
∵

AB

=

CD

，
∴

AC

=

BD

，
∴BD=AC，
∴BD=AC=AP-CP=BE-EF．

（3）BD=BE+EF．
证明：连接AC、AB，过点A作AM⊥EF，交FE的延长线于点M，如图2．
则有∠M=90°．
∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD=∠ACD=90°．
∵AE与⊙O相切于点A，
∴∠DAE=90°，
∴∠BAE=90°-∠DAB=∠ADB．
∵∠F=∠ACF=∠M=90°，
∴四边形ACFM是矩形，
∴AC=MF，∠CAM=90°，
∴∠MAE=90°-∠CAE=∠DAC，
∵

AB

=

CD

，
∴∠ADB=∠DAC，
∴∠BAE=∠ADB=∠DAC=∠MAE．
在△AME和△ABE中，

∠M=∠ABE=90° ∠MAE=∠BAE AE=AE

，
∴△AME≌△ABE（AAS），
∴ME=BE
∵

AB

=

CD

，
∴

AC

=

BD

，
∴AC=BD，
∴BD=AC=MF=ME+EF=BE+EF．

（4）∵∠DAE=90°，AE=3，AD=4，
∴DE=5，
∴AB=

AD•AE

DE

=

4×3

5

=

12

5

．
∴BD=

AD2-AB2

=

16

5

，
∴BE=DE-BD=5-

16

5

=

9

5

，
∴EF=BD-BE=

16

5

-

9

5

=

7

5

．
∴EF的长为

7

5

．

点评：本题主要考查了弧与弦的关系、圆周角定理、切线的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，综合性性比较强．将两条线段的和转化成一条线段是解决第（2）小题和第（3）小题的关键．