Question

【知识重现】一元二次方程根与系数的关系是：如果x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根，那么有x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．
【用法指导】我们利用一元二次方程根与系数的关系可以用来解答以下问题：
问题一：建立新方程
背景：设x₁，x₂是方程x²+px+q=0的两个根，由根与系数的关系得：x₁+x₂=-p，x₁•x₂=q，反过来，p=-（x₁+x₂），q=x₁•x₂．
所以原方程可化为：x²-（x₁+x₂）x+x₁•x₂=0，这样我们就建立了以两个已知数x₁，x₂为根的新方程．
例如：以2，3为根的方程是：x²-（2+3）x+2×3=0，即：x²-5x+6=0．
问题二：求与两根有关的代数式的值
例：设x₁，x₂是方程2x²+4x-3=0的两根，不解方程，求代数式x₁²+x₂²的值．
解：由根与系数关系得：x₁+x₂=-

4

2

=-2，x₁•x₂=

-3

2

=-

3

2

所以：x₁²+x₂²
=x₁²+x₂²+2x₁•x₂-2x₁•x₂
=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂
=（-2）²-2×（-

3

7

）=7
【学以致用】请你根据以上信息解答下题：
（1）请写出①以

1

2

，

1

3

为根的方程：

 

，②以-5，8为根方程：

 

；
（2）设x₁，x₂是方程x²-3x-5=0的两根，不解方程，求代数式

x2

x1

+

x1

x2

的值．

Answer 1

考点：根与系数的关系

专题：阅读型

分析：（1）①先计算出

1

2

+

1

3

=

5

6

，

1

2

×

1

3

=

1

6

，然后根据根与系数的关系写出满足条件的一个一元二次方程；
②与①一样求解；
（2）先根据根与系数的关系得到x₁+x₂=3，x₁•x₂=-5，再计算出x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=19，然后计算

x2

x1

+

x1

x2

=

x12+x22

x1x2

=-

19

5

．

解答：解：（1）①∵

1

2

+

1

3

=

5

6

，

1

2

×

1

3

=

1

6

，
∴以

1

2

，

1

3

为根的一元二次方程可为x²-

5

6

x+

1

6

=0；
②∵-5+8=3，-5×8=-40，
∴以-5，8为根的一元二次方程可为x²-3x-40=0，
故答案为x²-

5

6

x+

1

6

=0；x²-3x-40=0；
（2）根据题意得x₁+x₂=3，x₁•x₂=-5，
所以x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=3²-2×（-5）=19，
所以

x2

x1

+

x1

x2

=

x12+x22

x1x2

=

19

-5

=-

19

5

．

点评：本题考查了根与系数的关系是：如果x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根，那么有x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．