Question

一副三角板按如图所示放置，其中∠F=∠ACB=90°，∠E=30°，∠A=45°，点C在FD的延长线上，点B在DE上．
（1）当AB∥CF时，求∠DBC的度数；
（2）当AB∥CF时，且AB=24时，求CD的长．

Answer 1

考点：勾股定理,平行线的性质

专题：

分析：（1）根据三角形内角和定理求出∠BDF和∠ABC，根据平行线性质求出∠ABD，即可得出答案；
（2）过B作BM⊥DF于M，解直角三角形求出BC=AB×sin45°=12

2

，在Rt△BMC中，解直角三角形求出BM=CM=12，OM=4

3

，即可得出答案．

解答：解：（1）∵∠F=90°，∠E=30°，
∴∠EDF=60°，
∵∠BCA=90°，∠A=45°，
∴∠ABC=45°，
∵AB∥FC，
∴∠BAD=∠EDF=60°，
∴∠DBC=60°-45°=15°；

（2）
过B作BM⊥DF于M，
∵在Rt△ACB中，∠BCA=90°，∠A=45°，AB=24，
∴BC=AB×sin45°=12

2

，
∵在Rt△BMC中，∠BCM=∠BDM-∠DBC=60°-15°=45°，
∴BM=CM=BC×sin45°=12，
∵在Rt△BDM中，∠BDM=60°，∠BMD=90°，BM=12，
∴DM=

BM

tan45°

=4

3

，
∴CD=CM-DM=12-4

3

．

点评：本题考查了勾股定理，解直角三角形，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键，有一定的难度．