Question

如图，等边△ABC中，AB=6，将一直角三角板DEF的60°角的顶点E置于边BC上移动（不与B、C重合），移动过程中，始终满足直角边DE经过点A，斜边EF交AC于点G．
（1）求证：△ABE∽△ECG；
（2）在移动过程中，线段CG有没有最大值？若有，请求出，若没有，请说明理由．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）根据等边三角形的性质得出∠B=∠C=∠AEG=60°，再求出∠BAE=∠CEG即可；
（2）当AE⊥BC时，CG最大，BE=CE=

1

2

BC=3，证明∠AGE=90°，得出CG=

1

2

CE=1.5．

解答：解：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=∠AEG=60°，
∴∠AEB+∠CEG=180°-∠AEG=120°，∠AEB+∠BAE+=180°-∠B=120°，
∴∠BAE=∠CEG，
∵∠B=∠C，
∴△ABE∽△ECG；
（2）线段CG有最大值；当AE⊥BC时，CG最大；
∵△ABC是等边三角形，AE⊥BC，
∴BE=CE=

1

2

BC=3，∠C=60°，
∵∠AEG=60°，
∴∠CEG=90°-60°=30°，
∴∠AGE=90°，
∴CG=

1

2

CE=1.5．

点评：本题考查了三角形相似的判定，解直角三角形，等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质等知识点的应用，主要考查学生推理和计算能力，综合性比较强，第二问中得出当AE⊥BC时，CG最大是解题的关键．