Question

14．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：
第一步，分别以点A、D为圆心，以大于$\frac{1}{2}$AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；
第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；
第三步，连接DE、DF．
若BD=6，AF=4，CD=3，则BE的长是8．

Answer 1

分析 根据已知得出MN是线段AD的垂直平分线，推出AE=DE，AF=DF，求出DE∥AC，DF∥AE，得出四边形AEDF是菱形，根据菱形的性质得出AE=DE=DF=AF，根据平行线分线段成比例定理得出$\frac{BD}{CD}$=$\frac{BE}{AE}$，代入求出即可．

解答 解：∵根据作法可知：MN是线段AD的垂直平分线，
∴AE=DE，AF=DF，
∴∠EAD=∠EDA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠EDA=∠CAD，
∴DE∥AC，
同理DF∥AE，
∴四边形AEDF是菱形，
∴AE=DE=DF=AF，
∵AE=4，
∴AE=DE=DF=AF=4，
∵DE∥AC，
∴$\frac{BD}{CD}$=$\frac{BE}{AE}$，
∵BD=6，AF=4，CD=3，
∴$\frac{6}{3}$=$\frac{BE}{4}$，
∴BE=8，
故答案为：8．

点评 本题考查了平行线分线段成比例定理，菱形的性质和判定，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用，能根据定理四边形AEDF是菱形是解此题的关键，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例．