Question

如图①，∠MON=90°，反比例函数y=

2

x

（x＞0）和y=

k

x

（k＜0，x＜0）的图象分别是l₁和l₂．射线OM交l₁于点A（1，a），射线ON交l₂于点B，连接AB交y轴于点P，AB∥x轴．
（1）求k的值；
（2）如图②，将∠MON绕点O旋转，射线OM始终在第一象限，交l₁于点C，射线ON交l₂于点D，连接CD交y轴于点Q，在旋转的过程中，∠OCD的大小是否发生变化？若不变化，求出tan∠OCD的值；若变化，请说明理由；
（3）在（2）的旋转过程中，当点Q为CD中点时，CD所在的直线与l₁的有几个公共点，求出公共点的坐标．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）根据自变量的值与函数值的对应关系，可得A点坐标，根据相似三角形的判定与性质，可BP的长，根据待定系数法，可得k值；
（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得C点坐标，D点坐标，根据相似三角形的判定与性质，可得

DF

OE

=

OF

CE

，可得m、n的值，根据相似三角形对应变得比相等，可得OD：OC的值，根据正切函数值是定值，可得角是一定的；
（3）根据梯形的中位线，可得m=

4

m

，可得C、D的坐标，根据待定系数法，可得CD的解析式，根据两函数解析式，可得方程组，根据解方程组，可得图象的交点坐标．

解答：解：（1）将A（1，a）代入y=

2

x

，得a=2，
∴A（1，2），OP=2，AP=1，
∵AB∥x轴，
∴AB⊥OP，
又∵∠MON=90°，
∴△OPA∽△BPO，
∴

BP

OP

=

PO

PA

，BP=

PO2

PA

=4，
∵点B在第二象限，
∴B（-4，2）代入y=

k

x

，得k=-8．

（2）∠OCD的大小不变．
过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，
设OE=m，OF=n，
∴C（m，

2

m

），D（-n，

8

n

），
易证△DFO∽△OEC，
∴

DF

OE

=

OF

CE

，
∴

8 n

m

=

n

2 m

，
∴m²n²=16，
∵m＞0，n＞0，
∴mn=4，n=

4

m

，
∵△DFO∽△OEC，
∴

DO

OC

=

OF

CE

，
∴

DO

OC

=

4

m

÷

2

m

=2，即tan∠OCD=2．
（3）当点Q为CD中点时，OE=OF，
∴m=

4

m

，
∵m＞0，∴m=2，
∴C（2，1），D（-2，4）．
设直线CD的解析式为y=k₁x+b，可得

2k+b=1 -2k+b=4

，解得

k=- 3 4 b= 5 2

，
∴直线CD的解析式为y=-

3

4

x+

5

2

，
联立方程组

y= 2 x y=- 3 4 x+ 5 2

，解得

x1=2 y1=1

，

x2= 4 3 y2= 3 2

．
∴CD所在的直线与l₁的有两个公共点，分别是（2，1）和（

4

3

，

3

2

）．

点评：本题考查了反比例函数综合题，（1）利用了相似三角形的判定与性质，待定系数法求函数解析式，（2）利用相似三角形的性质得出m、n得出m、n的关系，得出∠OCD的正切值，（3）利用梯形的中位线，得出m的值，再利用自变量与函数值的对定关系，得出点C、D的坐标，利用待定系数法得出直线CD的函数解析式，利用解方程组，得出交点坐标．