Question

19．（1）定义：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形．如图1，四边形ABCD为凹四边形．

（2）性质探究：请完成凹四边形一个性质的证明．
已知：如图2，四边形ABCD是凹四边形．
求证：∠BCD=∠B+∠A+∠D．
（3）性质应用：
如图3，在凹四边形ABCD中，∠BAD的角平分线与∠BCD的角平分线交于点E，若∠ADC=140°，∠AEC=102°，则∠B=64°．
（4）类比学习：
如图4，在凹四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD的中点，顺次连接各边中点得到四边形EFGH．若AB=AD，CB=CD，则四边形EFGH是C．（填写序号即可）
A．梯形   B．菱形  C．矩形  D．正方形．

Answer 1

分析 （2）延长BC交AD于点M，根据三角形的外角的性质即可解决问题．
（3）利用（2）中结论如图3中，设∠B=x，∠ECB=∠ECD=α，∠EAD=∠EAB=β，列出方程组即可解决问题．
（3）结论：四边形EFGH是矩形．利用三角形的中位线定理，首先证明是平行四边形，再证明有一个角是90度即可．

解答 解：（2）延长BC交AD于点M

∵∠BCD是△CDM的外角，
∴∠BCD=∠CMD+∠D，
同理∠CD是△ABM的外角，
∴∠CMD=∠A+∠B，
∴∠BCD=∠A+∠B+∠D；

（2）如图3中，设∠B=x，∠ECB=∠ECD=α，∠EAD=∠EAB=β．

由（2）可知，$\left\{\begin{array}{l}{140=102+α+β}\\{102=x+α+β}\end{array}\right.$，
解得x=64°
故答案为64．

（3）四边形EFGH是矩形，
证明：连接AC，BD，交EH于点M，
∵E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF=HG=$\frac{1}{2}$AC，EF∥HG∥AC，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AB=AD，BC=DC，
∴A、C在BD的垂直平分线上，
∴AM⊥EH，
已证EF∥AC，同理可证FG∥BD，
∴∠EFG=90°，
∴□EFGH是矩形；
故答案为C．

点评 本题考查了三角形的中位线性质，线段垂直平分线性质，平行四边形的判定，矩形的判定，三角形的外角性质的应用，能综合运用性质进行推理和画图是解此题的关键，综合性比较强，有一定的难度．