Question

10．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5$\sqrt{3}$，∠C=30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．
（1）求AB，AC的长；
（2）求证：AE=DF；
（3）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．
（4）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由直角三角形的性质和勾股定理得出方程，解方程即可；
（2）利用已知用未知数表示出DF，AE的长，进而得出AE=DF；
（3）首先得出四边形AEFD为平行四边形，进而利用菱形的判定与性质得出AE=AD时，求出t的值，进而得出答案；
（4）利用①当∠EDF=90°时；②当∠DEF=90°时；③当∠EFD=90°时，分别分析得出即可．

解答 （1）解：设AB=x，
∵∠B=90°，∠C=30°，
∴AC=2AB=2x．
由勾股定理得，（2x）²-x²=（5$\sqrt{3}$）²，
解得：x=5，
∴AB=5，AC=10．

（2）证明：在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，
∴DF=$\frac{1}{2}$CD=t．
又∵AE=t，
∴AE=DF．
（3）解：四边形AEFD能够成为菱形．理由如下：
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF．
又∵AE=DF，
∴四边形AEFD为平行四边形．
∵AB=5，
∴AC=10．
∴AD=AC-DC=10-2t．
若使□AEFD为菱形，则需AE=AD，
即t=10-2t，解得：t=$\frac{10}{3}$．
即当t=$\frac{10}{3}$时，四边形AEFD为菱形．

（4）解：当t=$\frac{5}{2}$秒或4秒时，△DEF为直角三角形，理由如下：
分情况讨论：
①∠EDF=90°时，10-2t=2t，t=$\frac{5}{2}$．
②∠DEF=90°时，10-2t=$\frac{1}{2}$t，t=4．
③∠EFD=90°时，此种情况不存在．
故当t=$\frac{5}{2}$秒或4秒时，△DEF为直角三角形．

点评 此题是四边形综合题目，考查了平行四边形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度．