Question

14．为测量底面为圆形的古塔的高度，以下是小明与小红的研究报告：

	小明的研究报告	小红的研究报告
测量图例
测量过程	如图，测角仪AB、CD的高度均为1.6m，分别测得古塔顶端的仰角为17°、45°，测角仪底端的距离（BD）为69m．	如图，测角仪EF的高度为1.6m，测得古塔顶端的仰角为35°，测角仪所在位置与古塔底部边缘的最短距离（FG）为38.3m．
参考数据	sin17°≈0.29，cos17°≈0.96， tan17°≈0.31，$\sqrt{2}$≈1.41	sin35°≈0.57，cos35°≈0.82， tan35°≈0.70
数据处理	32.6	PQ=38.3×tan35°+1.6≈28.41（m）

（1）写出小明的研究报告中“数据处理”的详细过程；
（2）指出小红研究报告中的错误之处；
（3）利用两人的测量数据，直接写出古塔底面圆的半径（结果精确到1m）．

Answer 1

分析 （1）延长AC交PQ于点E．则AE⊥PQ，在直角△PCE和直角△PAE中利用PE表示出AE和CE的长，然后根据AC=AE-CE列方程求得PE的长，则PQ即可求得；
（2）根据解直角三角形和三角函数的定义判断；
（3）作EM⊥PQ于点M，在EM上取点C，使∠PCM=45°，求得FQ的长，根据半径GQ=FQ-FG求解．

解答 解：（1）延长AC交PQ于点E．则AE⊥PQ．（图1）．
设PE=xm，
∵在Rt△PCE中，∠PCE=45°，
∴PE=CE=xm．
在Rt△APE中，tan∠PAE=$\frac{PE}{AE}$，
则AE=$\frac{PE}{tan∠PAE}$=$\frac{x}{tan15°}$=$\frac{x}{0.31}$，
又∵AE-CE=AC=BD，
∴$\frac{x}{0.31}$-x=69，
解得x=31，
则PQ=PE+EQ=PE+AB=31+1.6=32.6（m）．
故答案是：32.6；
（2）错误的原因：PG与地面不垂直；
（3）作EM⊥PQ于点M，在EM上取点C，使∠PCM=45°，（图2）
则PM=CM=31（m），
在直角△PEM中，EM=$\frac{PM}{tan35°}$=$\frac{31}{tan35°}$=$\frac{31}{0.7}$≈44.3（m）．
则FQ=EM=44.3（m）．
∴GQ=44.4-38.3=6（m）．
答：古塔底面圆的半径是6m．

点评 本题主要考查解直角三角形的应用，本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．