Question

8．如图，三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么这个三角形可称为“等中三角形”，
探索体验
（1）如图①，点D是线段AB的中点，请画一个△ABC，使其为“等中三角形”．
（2）如图②，在 Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=$\sqrt{3}$，判断△ABC是否为“等中三角形”，并说明理由．
拓展应用
（3）如图③，正方形ABCD木板的边长AB=6，请探索在正方形木板上是否存在点P，使△ABP为面积最大的“等中三角形”？若存在，求出CP的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）通过同圆的半径相等，取DC=AB，则△ABC就是所求作的等中三角形；
（2）作中线BD，根据勾股定理求中线BD=AC，则△ABC是“等中三角形”；
（3）分别以△ABP三边画等中三角形，对比后得图5中的等中三角形的面积最大，求出此时的CP的长即可．

解答 解：（1）如图1，
作法：①以D为圆心，以AB为半径画圆，在圆上任意取一点C，
②连接AC、BC，
则△ABC就是所求作的“等中三角形”；
（2）△ABC是“等中三角形”，理由是：
如图2，取AC的中点D，连接BD，
∵AC=2，
∴CD=$\frac{1}{2}$AC=1，
∵∠ACB=90°，
由勾股定理得：BD=$\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2，
∴BD=AC，
∴△ABC是“等中三角形”，
（3）分三种情况：
①当中线长BE=AP时，如图3，
画法：①在正方形内任意取一点P，连接AP，取中点E，
②以E为圆心，以AP为半径画圆，当圆E经过点B时，△ABP是等中三角形；

②当中线长AE=PB时，同理可画出图4；
③当中线长PE=AB时，如图5，
画法：取AB中点E，以E为圆心，以AB为半径画圆，交CD于P，此时，△ABP是等中三角形；
由三个图形可得：图5中的等中三角形的面积最大，
此时，P是DC的中点，
∴PC=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}×6$=3．

点评 本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质、直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质以及三角形全等的性质和判定，又是一道新定义的阅读理解问题及尺规作图题，综合性较强；熟练掌握性质和定理是关键，并注意理解和运用已知的“中线长恰好等于这边的长”这一条件．