Question

16．已知一次函数y₁=x+a和y₂=x+b（a，b为常数）分别经过点A（1，m）和点B（2，6-m）．
（1）设u=y₁•y₂，当u随着x的增大而增大时，自变量x的取值范围是$x≥-\frac{3}{2}$；
（2）设v=y₁+y₂，当u和v的图象交点横坐标为3时，m=$\frac{{5+3\sqrt{5}}}{2}$或$\frac{{5-3\sqrt{5}}}{2}$．

Answer 1

分析 （1）先根据一次函数y₁=x+a和y₂=x+b分别经过点A（1，m）和点B（2，6-m），得到a=m-1，b=4-m，再根据u=y₁•y₂得到，u=x²+3x+（m-1）（4-m），最后根据二次函数的对称轴为x=-$\frac{3}{2}$，抛物线开口向上，可得当$x≥-\frac{3}{2}$时，u随着x的增大而增大；
（2）根据v=y₁+y₂=x+m-1+x+4-m=2x+3，u=x²+3x+（m-1）（4-m），可得2x+3=x²+3x+（m-1）（4-m），再把x=3代入，可得：2×3+3=9+9+（m-1）（4-m），据此求得m的值．

解答 解：（1）∵一次函数y₁=x+a和y₂=x+b分别经过点A（1，m）和点B（2，6-m），
∴m=1+a，6-m=2+b，
∴a=m-1，b=4-m，
∴u=y₁•y₂=（x+a）（x+b）=（x+m-1）（x+4-m）=x²+3x+（m-1）（4-m），
∵二次函数的对称轴为x=-$\frac{3}{2}$，抛物线开口向上，
∴当$x≥-\frac{3}{2}$时，u随着x的增大而增大，
故答案为：$x≥-\frac{3}{2}$；

（2）由题可得，v=y₁+y₂=x+m-1+x+4-m=2x+3，
u=x²+3x+（m-1）（4-m），
当2x+3=x²+3x+（m-1）（4-m）时，把x=3代入可得：
2×3+3=9+9+（m-1）（4-m），
解得m=$\frac{{5+3\sqrt{5}}}{2}$或$\frac{{5-3\sqrt{5}}}{2}$．
故答案为：$\frac{{5+3\sqrt{5}}}{2}$或$\frac{{5-3\sqrt{5}}}{2}$．

点评 本题主要考查了一次函数图象上的点的坐标特征以及二次函数的性质的运用，解题时注意：当a＞0时，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜-$\frac{b}{2a}$时，y随x的增大而减小；x＞-$\frac{b}{2a}$时，y随x的增大而增大．