Question

7．已知，D是△ABC中AB上一点，并且∠BDC=90°，DH垂直平分BC交BC于点H．
（1）试说明：BD=DC；
（2）如图2，若BE⊥AC于E，与CD相交于点F，试说明：△BDF≌△ACD；
（3）在（1）、（2）条件下，若BE平分∠ABC，试说明：BF=2CE．

Answer 1

分析 （1）由已知条件得出BH=CH，∠BHD=∠CHD=90°，由SAS证明△BDH≌△CDH，得出对应边相等即可；
（2）由对顶角相等和三角形内角和定理得出∠DBF=∠DCA，由ASA证明△BDF≌△ACD即可；
（3）由全等三角形的性质得出BF=AC，由角平分线得出∠ABE=∠CBE，由ASA△ABE≌△CBE（ASA），得出AE=CE，证出AC=2CE，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵DH垂直平分BC，
∴BH=CH，∠BHD=∠CHD=90°，
在△BDH和△CDH中，$\left\{\begin{array}{l}{BH=CH}&{\;}\\{∠BHD=∠CHD}&{\;}\\{DH=DH}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BDH≌△CDH（SAS），
∴BD=CD；
（2）证明：∵BE⊥AC，
∴∠BEC=90°=∠BDF，
∵∠BFD=∠CFE，
∴∠DBF=∠DCA，
在△BDFH和△ACD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BDF=∠CDA}&{\;}\\{BD=CD}&{\;}\\{∠DBF=∠DCA}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△ACD（ASA）；
（3）证明：由（2）得：△BDF≌△ACD，
∴BF=AC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵BE⊥AC，
∴∠BEA=∠BEC=90°，
在△ABE和△CBE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠CBE}&{\;}\\{BE=BE}&{\;}\\{∠BEA=∠BEC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBE（ASA），
∴AE=CE，
∴AC=2CE，
∴BF=2CE．

点评 本题是三角形综合题目，考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握线段垂直平分线的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．