Question

18．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB=5，AD=3$\sqrt{2}$，∠BCD=60°，∠CDA=45°，则梯形最长边与最短边的差是（　　）

• A． 8+$\sqrt{3}$-3$\sqrt{2}$
• B． 8
• C． 8-3$\sqrt{2}$
• D． 8-$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 先过A作AE⊥CD，过B作BF⊥CD，得到四边形ABFE是矩形，再根据∠CDA=45°，∠BCD=60°求得各边长，找出最长边为CD，最短边为BC，最后计算最长边与最短边的差．

解答 解：过A作AE⊥CD，过B作BF⊥CD，则四边形ABFE是矩形
∴EF=AB=5
∵∠CDA=45°
∴AE=DE=$\frac{AD}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=3
∴BF=3
∵∠BCD=60°
∴CF=$\frac{BF}{\sqrt{3}}$=$\frac{3}{\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$
∴BC=2CF=2$\sqrt{3}$，CD=$\sqrt{3}$+5+3=8+$\sqrt{3}$
∴最长边为CD，最短边为BC，
∴最长边与最短边的差=8+$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$=8-$\sqrt{3}$．
故选（D）

点评 本题主要考查了梯形以及矩形的性质，解决问题的关键是作辅助线，构造矩形以及直角三角形．