Question

6．如图，在△ABC，∠BAC=100°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的角平分线相交于A₁，若∠A₁BC与∠A₁CD的角平分线相交于点A₂，以此类推，∠A_n-1BC与∠A_n-1CD的角平分线相交于点A_n，则∠A_n=$\frac{100°}{{2}^{n}}$．

Answer 1

分析 由∠A₁CD=∠A₁+∠A₁BC，∠ACD=∠ABC+∠A，而A₁B、A₁C分别平分∠ABC和∠ACD，得到∠ACD=2∠A₁CD，∠ABC=2∠A₁BC，于是有∠BAC=2∠A₁，同理可得∠A₁=2∠A₂，即∠A=2²∠A₂，因此找出规律．

解答 解：∵A₁B、A₁C分别平分∠ABC和∠ACD，
∴∠ACD=2∠A₁CD，∠ABC=2∠A₁BC，
而∠A₁CD=∠A₁+∠A₁BC，∠ACD=∠ABC+∠BAC，
∴∠BAC=2∠A₁=100°，
∴∠A₁=50°，
同理可得∠A₁=2∠A₂，
即∠BAC=2²∠A₂=100°，
∴∠A₂=25°，
∴∠A=2ⁿ∠A_n，即∠A_n=$\frac{∠A}{{2}^{n}}$=$\frac{100°}{{2}^{n}}$．
故答案为：$\frac{100°}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．也考查了三角形的外角性质以及角平分线性质，难度适中．