题目内容

11．已知：如图，在四边形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C、A（-1，1），B（-3，1）动点P从点O出发，沿着x轴负方向以每秒2个单位长度的速度移动，过点P作PQ垂直与直线OA，垂足为点Q，设点P移动的时间t秒（0＜t＜2）
（1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式，并确定顶点M的坐标；
（2）用含t的代数式表示点P、点Q的坐标；
（3）如果将△OPQ绕着点P按逆时针方向旋转90°，是否存在t，使得△OPQ的顶点O或顶点Q在抛物线上？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

分析 （1）设抛物线解析式为y=ax2+bx（a≠0），然后把点A、B的坐标代入求出a、b的值，即可得解，再把函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点M的坐标；
（2）根据点P的速度求出OP，即可得到点P的坐标，再根据点A的坐标求出∠AOC=45°，然后判断出△POQ是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出点Q的坐标即可；
（3）根据旋转的性质求出点O、Q的坐标，然后分别代入抛物线解析式，求解即可；

解答 解：（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx（a≠0），
把点A（-1，1），B（-3，1）代入得，
$\left\{\begin{array}{l}{a-b=1}\\{9a-3b=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{3}}\\{b=-\frac{4}{3}}\end{array}\right.$．
∴抛物线解析式为y=-$\frac{1}{3}$x2-$\frac{4}{3}$x，
∵y=-$\frac{1}{3}$x2-$\frac{4}{3}$x=-$\frac{1}{3}$（x+2）2+$\frac{4}{3}$，
∴顶点M的坐标为（-2，$\frac{4}{3}$）；

（2）∵点P从点O出发速度是每秒2个单位长度，
∴OP=2t，
∴点P的坐标为（-2t，0），
∵A（-1，1），
∴∠AOC=45°，
∴点Q到x轴、y轴的距离都是$\frac{1}{2}$OP=$\frac{1}{2}$×（-2t）=-t，
∴点Q的坐标为（t，-t）；

（3）∵△OPQ绕着点P按逆时针方向旋转90°，
∴旋转后点O、Q的对应点的坐标分别为（2t，-2t），（3t，-t），
若顶点O在抛物线上，则-$\frac{1}{3}$×（2t）2-$\frac{4}{3}$×（2t）=-2t，
解得t=$\frac{1}{2}$（t=0舍去），
∴t=-$\frac{1}{2}$时，点O（-1，1）在抛物线y=-$\frac{1}{3}$x2-$\frac{4}{3}$x，
若顶点Q在抛物线上，则-$\frac{1}{3}$×（3t）2-$\frac{4}{3}$×（3t）=-t，
解得t=-1（t=0舍去），
∴t=-1时，点Q（-3，1）在抛物线y=-$\frac{1}{3}$x2-$\frac{4}{3}$x上．

点评 本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的性质，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，解题的关键是能够将图形和点的坐标有机的结合起来，难度较大．

练习册系列答案
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③m满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}{m-4＞0}\\{m-5＜0}\end{array}\right.$；
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A．①②B．①③C．③D．①②④
2．某手机专卖店销售A，B两种型号的手机，如表是近两周的销售情况：
销售时段销售数量销售利润
A型B型
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①求y关于x的函数表达式；
②该商店购进A型号和B型号手机各多少台，才能使销售总利润最大？
（3）实际进货时，厂家对A型号手机的出厂价提高a（0＜a＜100）元，对B型号手机的出厂价下降a（0＜a＜100）元，且限定该手机专卖店至少购进A型号手机20台．若该手机专卖店保持两种手机的售价不变，请根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台手机销售总利润最大的进货方案．
19．化简求值：当a=2，b=-1时，求（a-b）（a+b）2-（a+b）（a-b）2+2b（a2+b2）的值．
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