Question

1．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，D是∠ACB外角与内角∠ABC平分线交点，E是∠ABC，∠ACB外角平分线交点，若∠BOC=120°，则∠D=（　　）度．

• A． 15°
• B． 20°
• C． 25°
• D． 30°

Answer 1

分析 根据角平分线的定义有∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠0CB，根据三角形内角和定理得2∠OBC+2∠OCB+∠A=180°，即有∠OCB+∠OBC=90°-$\frac{1}{2}$∠A，再根据三角形内角和定理得到∠OCB+∠OBC+∠BOC=180°，于是有∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$∠A，即可得到∠BOC的度数，三角形外角的性质有∠FCD=∠D+∠DBC，∠ACF=∠ABC+∠A，则2∠D+2∠DBC=∠ABC+∠A，即可得到∠D=$\frac{1}{2}$∠A，于是得到∠D，然后根据三角形的内角和即可得到结论．

解答 解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，
又∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°，
∴2∠OCB+2∠OBC+∠A=180°，
∴∠OCB+∠OBC=90°-$\frac{1}{2}$∠A，
又∵∠OCB+∠OBC+∠BOC=180°，
∴90°-$\frac{1}{2}$∠A+∠BOC=180°，
∴∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$∠A，
而∠BOC=120°，
∴∠A=60°，
∵∠DCF=∠D+∠DBC，∠ACF=∠ABC+∠A，BD平分∠ABC，DC平分∠ACF，
∴∠ACF=2∠DCF，∠ABC=2∠DBC，
∴2∠D+2∠DBC=∠ABC+∠A，
∴2∠D=∠A，即∠D=$\frac{1}{2}$∠A．
∵∠A=60°，
∴∠D=30°，
故选D．

点评 本题考查了角平分线定义，三角形内角和定理的应用，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．