Question

12．如图，已知等边△ABC，点D在BC的延长线上，∠ADE=60°，DE交AB的延长线于点E．
（1）如图1，求证：△ACD∽△DBE；
（2）如图2，延长AC交DE于点F，当AF⊥DE时，写出图中所有与△CDF的相似三角形．

Answer 1

分析 （1）由△ABC是等边三角形，于是得到∠ABC=∠ACB=60°，根据平角的定义得到∠EBD=∠ACD=120°，于是得到结论；
（2）根据垂直的定义得到∠AFD=∠AFB=90°，根据三角形的内角和得到∠CDF=∠E=∠ADB=30°，于是得到结论．

解答 证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠EBD=∠ACD=120°，
∵∠CAD+∠ADC=∠CDF+∠ADC=60°，
∴∠AD=∠BDE，
∴△ACD∽△DBE；

（2）∵AF⊥DE，
∴∠AFD=∠AFB=90°，
∵∠EAC=∠ACB=∠DCF=60°，
∴∠CDF=∠E=∠ADB=30°，
∴∠BAD=90°，
∴△CDF∽△ADF∽△ABD∽△AEF．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．