Question

已知：△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，△ABD为等边三角形，E是BD中点，AE，CD相交于O点．
（1）求∠DCB的度数；
（2）求证：BC=2DO．

Answer 1

考点：等边三角形的性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）由等边三角形以及等腰直角三角形的性质可得∠DAC=150°，再根据∠ACD=∠ADC=15°即可得∠DCB的度数；
（2）由等边三角形的性质得到∠DOE=45°，设DE=x，则BD=2x，OD=

2

x，再得出BC=

2

AB=2

2

x即可得证．

解答：解：（1）∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ACB=∠CBA=45°．
∵△ABD为等边三角形，
∴AD=AB，∠DAB=60°
∴AC=AD，∠DAC=150°．
∴∠ACD=∠ADC=15°，
∴∠DCB=∠ACB-∠ACD=30°．
答：∠DCB为30°．
（2）∵△ABD为等边三角形，E是BD中点，
∴AE⊥BD，∠ADB=60°，∠DAE=30°．
∴∠DOE=45°．
∴设DE=x，则BD=2x，OD=

2

x．
在Rt△ABC中，可得BC=

2

AB=2

2

x．
∴BC=2DO．

点评：本题主要考查了等边三角形以及等腰直角三角形的性质．这些知识要熟练掌握．