Question

如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=

k

x

的图象交于M、N两点，与x轴分别交于点P（2，0），且PN=5．
（1）求反比例函数和一次函数的关系式；
（2）求△OMN的面积；
（3）根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围．（不要求写出过程）

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：计算题

分析：（1）先根据两点间的距离公式得到（2+1）²+n²=5²，解方程得到N点坐标为（-1，-4），然后利用待定系数法确定反比例函数和一次函数的关系式；
（2）根据三角形面积公式和S_△OMN=S_△OPN+S_△OPM进行计算；
（3）观察函数图象得到当x＜-1或0＜x＜3时，反比例函数图象都在一次函数图象上方．

解答：解：（1）∵P（2，0），N（-1，n），
∴（2+1）²+n²=5²，解得n₁=-4，n₂=4（舍去），
∴N点坐标为（-1，-4），
把N（-1，-4）代入y=

k

x

得k=-1×（-4）=4，
∴反比例函数解析式为y=

4

x

；
把M（3，m）代入y=

4

x

得3m=4，解得m=

4

3

，
∴M点坐标为（3，

4

3

），
把M（3，

4

3

），N（-1，-4）代入y=ax+b得

3a+b= 4 3 -a+b=-4

，
解得

a= 4 3 b=- 8 3

，
∴一次函数解析式为y=

4

3

x-

8

3

；
（2）S_△OMN=S_△OPN+S_△OPM
=

1

2

×2×4+

1

2

×2×

4

3

=

16

3

；
（3）当x＜-1或0＜x＜3时，反比例函数的值大于一次函数的值．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力．