Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D．
（1）以AB边上一点O为圆心，AD为弦作⊙O（要求用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）若（1）中的⊙O的半径为2，⊙O与AB边的另一个交点为E，BD=2

3

，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的图形面积．（结果保留根号和π）

Answer 1

考点：圆的综合题,平行线的判定与性质,切线的判定,扇形面积的计算,特殊角的三角函数值

专题：综合题

分析：（1）作线段AD的垂直平分线，交AB于点O，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，如图1，⊙O即为所求作．
（2）连接OD，如图2．由OA=OD，AD平分∠CAB可证到∠ODA=∠CAD，从而有OD∥AC，进而可以证到OD⊥BC，即可得到直线BC与⊙O相切．
（3）连接OD，如图3．在Rt△ODB中运用三角函数可求出∠DOB的度数，就可求出扇形ODE的面积，就可求出所求图形面积．

解答：解：（1）作线段AD的垂直平分线，交AB于点O，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，如图1，

⊙O即为所求作．

（2）直线BC与⊙O相切．
证明：连接OD，如图2．

∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA．
∵AD平分∠CAB，
∴∠BAD=∠CAD．
∴∠ODA=∠CAD．
∴OD∥AC．
∴∠ODB=∠ACB．
∵∠ACB=90°，
∴∠ODB=90°，即OD⊥BC．
∴直线BC与⊙O相切．

（3）连接OD，如图3，

则OD⊥BC（已证），阴影部分的面积就是所求图形的面积．
在Rt△ODB中，
∵OD=2，BD=2

3

，
∴tan∠DOB=

BD

OD

=

2 3

2

=

3

．
∴∠DOB=60°．
∴S_扇形ODE=

60×π×22

360

=

2π

3

．
∵S_△ODB=

1

2

OD•DB=

1

2

×2×2

3

=2

3

，
∴S_阴影=S_△ODB=-S_扇形ODE=2

3

-

2π

3

．
∴线段BD、BE与劣弧DE所围成的图形面积为2

3

-

2π

3

．

点评：本题考查了线段垂直平分线的作法、切线的判定、平行线的判定与性质、扇形的面积公式、特殊角的三角函数值、等腰三角形的性质、角平分线的定义等知识，有操作、有计算、有证明，具有一定的综合性，是一道好题．