Question

11．已知四边形ABCD的四个顶点A、B、C、D的坐标分别为（1，b），（m，0），（m+1，b+2），（m-2，m），其中m＞0且b＞0，若对角线AC，BD互相平分，求∠ABD的值．

Answer 1

分析 由四边形ABCD的对角线AC，BD互相平分知四边形ABCD为平行四边形，即可得$\left\{\begin{array}{l}{m-1=m+1-（m-2）}\\{b-0=m-（b+2）}\end{array}\right.$，解之可得m=4、b=1，得出四点的坐标，即可判断出△ABD是等腰直角三角形，得出答案．

解答 解：∵四边形ABCD的对角线AC，BD互相平分，
∴四边形ABCD为平行四边形，
则$\left\{\begin{array}{l}{m-1=m+1-（m-2）}\\{b-0=m-（b+2）}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=4}\\{b=1}\end{array}\right.$，
则A（1，1）、B（4，0）、C（5，3）、D（2，4），
如图，

∵AB=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，AD=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，BD=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
则AB²+AD²=BD²，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴∠ABD=45°．

点评 本题主要考查坐标与图形的性质，熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理逆定理是解题的关键．