Question

6．在平面直角坐标系xOy中，有一宽为1的长方形纸带，平行于y轴，在x轴的正半轴上移动，交x轴的正半轴于点A，D，两边分别交函数y₁=$\frac{2}{x}$（x＞0）与y₂=$\frac{3}{x}$（x＞0）的图象于B、F和E、C（如图），设点A的横坐标为m．
（1）连接OB，OE，求△OBE的面积；
（2）连接BC，当m为何值时，四边形ABCD是矩形；
（3）在纸带在平移的过程中，能否使点O、B、C三点在同一直线上？若能，求出此时m的值；若不能，试说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用反比例函数k的几何意义可求得S_△OAB和S_△OAE，则可求得S_△OBE；
（2）用m可表示出B、C的坐标，由矩形的性质可知AB∥CD且AB=CD，可得到关于m的方程，可求得m的值；
（3）用m可表示出B、C的坐标，则可表示出OA、OD、AB和CD的长，当O、B、C三点在一条线上时，利用平行线分线段成比例的性质可得到关于m的方程，可求得m的值．

解答 解：
（1）如图1，

∵点B在y₁=$\frac{2}{x}$（x＞0）的图象上，
∴OA•AB=2，
同理OA•AE=3，
∴S_△OBE=S_△OAE-S_△OAB=$\frac{1}{2}$OA•AE-$\frac{1}{2}$OA•AB=$\frac{3}{2}$-1=$\frac{1}{2}$；
（2）∵点B在y₁=$\frac{2}{x}$（x＞0）的图象上，且OA=m，
∴AB=$\frac{2}{m}$，OD=OA+AD=m+1，
∵点C在y₂=$\frac{3}{x}$（x＞0）的图象上，
∴CD=$\frac{3}{m+1}$，
当四边形ABCD为矩形时，则AB=CD，
∴$\frac{2}{m}$=$\frac{3}{m+1}$，解得m=2，经检验m=2是原方程的解，
∴当m的值为2时，四边形ABCD为矩形；
（3）如图2，

由（2）可知OA=m，OD=m+1，AB=$\frac{2}{m}$，CD=$\frac{3}{m+1}$，
∵O、B、C三点在一条线上，且AB∥CD，
∴$\frac{OA}{OD}$=$\frac{AB}{CD}$，即$\frac{m}{m+1}$=$\frac{\frac{2}{m}}{\frac{3}{m+1}}$，解得m=2+$\sqrt{5}$或m=2-$\sqrt{5}$（舍去），
∴当m的值为2+$\sqrt{5}$时，O、B、C三点在一条线上．

点评 本题为反比例函数的综合应用，涉及反比例函数k的几何意义、三角形的面积、矩形的性质、平行线分线段成比例等知识．在（1）中掌握好反比例函数中k的几何意义是解题的关键，在（2）中利用矩形的性质得到关于m的方程是解题的关键，在（3）中利用平行线分线段成比例是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．