Question

如图，在平角直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k≠0）与反比例函数y=

m

x

（m≠0）的图象分别交于一、三象限的A、B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，线段OC=2，A点坐标为（n，3），且cos∠ACO=

4

5

．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：

分析：（1）过点A作AE⊥x轴于点E，由cos∠AOE=

4

5

，OC=2，再根据勾股定理得到CE，即得到A点坐标（2，3），把A（2，3）代入y=

a

x

，确定反比例函数的解析式；然后把A点和C点坐标代入y=kx+b（k≠0）即可得出两函数解析式．
（2）先联立两函数解析式得出B点坐标，然后根据三角形的面积公式计算△AOB的面积即可．

解答：解：（1）过点A作AE⊥x轴于点E，
∵A点坐标为（n，3），且cos∠ACO=

4

5

，
∴AE=3，设CE=4x，则AC=5x，
在Rt△ACE中，AE²+EC²=AC²，
则3²+（4x）²=（5x）²，
解得：x=1，
故EC=4，AC=5，
∵CO=2，∴EO=2，
故A点坐标为（2，3），
设反比例函数解析式为：y=

a

x

，将A（2，3）点代入得出：xy=a，即2×3=6=a，
故反比例函数解析式为：y=

6

x

；
设一次函数的解析式为：y=kx+b，将A（2，3），C（-2，0）点坐标代入得：

2k+b=3 -2k+b=0

，
解得：

k= 3 4 b= 3 2

，
故一次函数的解析式为：y=

3

4

x+

3

2

，

（2）过点B作BF⊥x轴于点F，
将反比例函数和一次函数的解析式两函数联立得出：

y= 6 x y= 3 4 x+ 3 2

，
解得：

x1=2 y1=3

，

x2=-4 y2=- 3 2

，
故B点坐标为：（-4，-

3

2

），
故BF=

3

2

，
∵AE=3，CO=2，
∴△AOB的面积=S_△ACO+S_△BCO
=

1

2

×AE×CO+

1

2

×CO×BF
=

1

2

×2×3+

1

2

×2×

3

2

=

9

2

．

点评：本题考查了余弦的定义、勾股定理以及三角形面积公式和点的坐标的求法和点在图象上，点的横纵坐标满足图象的解析式，得出A点坐标是解题关键．