Question

12．如图，已知直线y=-x+1与x轴交于A点，与y轴交于B点，P（a，b）为双曲线y=$\frac{1}{2x}$（x＞0）上一动点，过P点分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D，交直线AB于点E、F
（1）用含b的代数式表示E点的坐标（1-b，b）
用含a的代数式表示F点的坐标（a，1-a）
（2）求证：△AOE∽△BFO
（3）当点P在双曲线y=$\frac{1}{2x}$（x＞0）上移动时，∠EOF也随之变化，试问∠EOF的大小是否变化，如果不变，求出其值，如果变化，说明理由．

Answer 1

分析 （1）易得点E的纵坐标为b，点F的横坐标为a，代入直线的解析式y=-x+1，即可用a，b的式子表示出E、F两点的坐标；
（2）由直线y=-x+1与x，y轴分别交于A、B两点可得OA=OB=1，从而得到∠OAB=45°，将OE²、EF、EA分别用a、b的代数式表示，可得OE²=EF•EA，可证明△EOF∽△EAO，可得到∠EOA=∠EFO，又∠EAO=∠FBO，可证明△AOE∽△BFO；
（3）由（2）可得∠EOF=∠OAE=45°，其值不变．

解答 解：（1）如图1，

∵PM⊥x轴与M，交线段AB于F，
∴x_F=x_M=x_P=a，
∵PN⊥y轴于N，交线段AB于E，
∴y_E=y_N=y_P=b，
∵点E、F在直线AB上，
∴y_E=-x_E+1=b，y_F=-x_F+1=-a+1，
∴x_E=1-b，y_F=1-a，
∴点E的坐标为（1-b，b），点F的坐标为（a，1-a）．
故答案为：（1-b，b）；（a，1-a）；
（2）证明：
过点E作EH⊥OM，垂足为H，如图2，

∵EN⊥ON，
∴OE²=ON²+EN²=b²+（1-b）²=2b²+1-2b，
∵EH⊥OM，EH=b，AH=1-（1-b）=b，
∴EA=$\sqrt{{b}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{2}$b，
同理可得：FA=$\sqrt{2}$（1-a），
∴EF=EA-FA=$\sqrt{2}$b-$\sqrt{2}$（1-a）=$\sqrt{2}$（b+a-1），
∵2ab=1，
∴EF•EA=$\sqrt{2}$（b+a-1）$\sqrt{2}$b=2（b²+ab-b）=2b²+2ab-2b=2b²+1-2b，
∴OE²=EF•EA，
∴$\frac{OE}{EF}$=$\frac{EA}{OE}$，
∵∠OEF=∠AEO，
∴△OEF∽△AEO，
∴∠EFO=∠AOE，
∵OA=OB=1，∠AOB=90°，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∴△AOE∽△BFO；
（3）由（2）可知△OEF∽△AEO，
∴∠EOF=∠EAO=45°，
∴∠EOF的大小不变，始终等于45°．

点评 本题为反比例函数的综合应用，涉及知识点有矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、反比例函数图象上点的坐标特征、勾股定理、完全平方公式等．在（2）中证得△OEF∽△AEO是解题的关键，为（3）的解决提供了条件．本题考查知识点较多，综合性很强，特别是第（2）问难度很大．