Question

3．如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠A=60°，点E、F分别在AB，BC上，且AE=BF，下列结论中：
①△DEF是等边三角形；②∠CDF=2∠ADE；③四边形DEBF的面积是9$\sqrt{3}$；④若AE=$\frac{1}{3}$AB，则DE=2$\sqrt{7}$．
一定正确的结论是①③④（把所有正确结论的序号都写在横线上）．

Answer 1

分析 连接BD，由菱形的性质可证明△ADE≌△BDF，得出DE=DF，再证出∠EDF=60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形即可得出△DEF是等边三角形，从而判断①正确；根据已知条件不能得出∠CDF=2∠ADE，从而判断②错误；过点D作DM⊥AB于M，根据等腰三角形三线合一的性质得出AM=$\frac{1}{2}$AB=3．在Rt△ADM中，利用勾股定理求出DM=$\sqrt{A{D}^{2}-A{M}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，则四边形DEBF的面积=△ABD的面积=$\frac{1}{2}$×6×3$\sqrt{3}$=9$\sqrt{3}$，从而判断③正确；若AE=$\frac{1}{3}$AB，可知BF=2，在Rt△EDM中，利用勾股定理求出DE=$\sqrt{E{M}^{2}+D{M}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+（3\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{7}$，从而判断④正确．

解答 解：连结BD．
∵在菱形ABCD中，AB=6，∠A=60°，
∴AB=AD=BC=CD=6，∠C=∠A=60°，
∴△ABD与△BCD都是等边三角形，
∴DA=DB，∠DAE=∠DBF=60°，又AE=BF，
∴△ADE≌△BDF，
∴DE=DF，∠ADE=∠BDF，
∴∠EDF=∠ADB=60°，
∴△DEF是等边三角形，①正确；
过点D作DM⊥AB于M，则AM=$\frac{1}{2}$AB=3．
在Rt△ADM中，DM=$\sqrt{A{D}^{2}-A{M}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∵△ADE≌△BDF，
∴四边形DEBF的面积=△ABD的面积=$\frac{1}{2}$×6×3$\sqrt{3}$=9$\sqrt{3}$，③正确；
若AE=$\frac{1}{3}$AB，可知BF=AE=2，
∴EM=1．
在Rt△EDM中，DE=$\sqrt{E{M}^{2}+D{M}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+（3\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{7}$，④正确．
只有②是错误的．
故答案为①③④．

点评 本题考查了菱形的性质，等边三角形、全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形、四边形的面积，熟练掌握菱形的性质，通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键．