Question

10．如图1，平行四边形ABCD中，AD=BD，∠A=30°，DE=2$\sqrt{2}$，点E在AB边上且∠AED=45°．
（1）求∠BDE的度数；
（2）将图1中的△BED绕点B顺时针旋转α（0°＜α≤360°）得到△BE′D′．
①当点E′恰好落在BD边上时，如图2所示，连接D′D并延长交AB于点F．求证：AF=BE′；
②在△BED旋转的过程中，当∠BAD′最大时，求线段AD′的长．

Answer 1

分析 （1）先利用等腰三角形的性质求出∠ABD，再用三角形的外角即可得出结论；
（2）①先求出∠BDD=75°，利用三角形的外角得出∠BFD=45°，进而得出∠AFD=∠BED=135°，即可判断出△ADF≌△DBE（ASA），即可；
②先利用等腰直角三角形的性质求出DF，再利用含30°的直角三角形的性质求出AD=BD=4，AB=2AF=4$\sqrt{3}$，
最后用勾股定理即可得出结论．

解答 解：（1）∵AD=BD，∠A=30°，
∴∠ABD=∠A=30°，
∵∠AED=45°，
∴∠BDE=∠AED-∠ABD=45°-30°=15°，
（2）①如图1，连接D'D并延长交AB于F，
由旋转知，∠DBD'=∠ABD=30°，BD'=BD，
∴∠BDD'=$\frac{1}{2}$（180°-∠DBD'）=75°，
∴∠BFD'=∠BDD'-∠ABD=75°-30°=45°（三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角的和）
∵∠AED=45°，
∴∠BFD'=∠AED，
∵∠AFD+∠BFD'=180°，∠AED+∠BED=180°，
∴∠AFD=∠BED=135°，
在△ADF和△DBE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AFD=∠BED=135°}\\{∠A=∠EBD}\\{AD=BD}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△DBE（ASA），
∴AF=BE，由旋转知，BE'=BE，
∴AF=BE'；
②如图2，
过点D作DG⊥AB于G，
在Rt△DEG中，∠AED=45°，DE=2$\sqrt{2}$，
∴DG=2，
在Rt△ADG中，∠BAD=30°．DG=2，
∴AD=4，AG=2$\sqrt{3}$，
∵AD=BD=4，DG⊥AB，
∴AB=2AG=4$\sqrt{3}$，
∵△BDE绕点B旋转的过程中，点D是以点B为圆心，BD为半径的圆，
∴AD'与⊙B相切时，∠BAD'最大，
∴∠AD'B=90°，
由旋转知，BD'=BD=4，
在Rt△ABD'中，BD'=4．AB=4$\sqrt{3}$，
根据勾股定理得，AD'=$\sqrt{A{B}^{2}-BD{'}^{2}}$=4$\sqrt{2}$．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，30°的直角三角形的性质，勾股定理，解（1）的关键是求出∠ABD的度数，解（2）的关键是判断出∠AFD=∠BED=135°，解（3）的关键是判断出AD与圆B相切时，∠BAD'最大．