Question

5．如图，在平面直角坐标系中，直线l∥x轴，交y轴于点A，第一象限内的点B在直线l上，连接OB，动点P满足∠APQ=90°，PQ交x轴于点C，
（1）当动点P与点B重合时，若点B的坐标是（2，1），则PA=2．
（2）当动点P在线段OB的延长线上时，点A的纵坐标与点B的横坐标相等，求PA：PC的值．
（3）在（2）的条件下，点P到x轴的距离为4，直接写出四边形AOCP的面积．

Answer 1

分析 （1）易得点P的坐标是（2，1），即可得到PA的长．
（2）易证∠AOB=45°，由角平分线的性质可得PM=PN，然后通过证明△ANP≌△CMP即可求出PA：PC的值．
（3）易证四边形OMPN为正方形，进而求出S_{正方形OMPN}，利用三角形全等，进行等积变换，S_{四边形AOCO}=S_{正方形OMPN}．

解答 解：（1）∵点P与点B重合，点B的坐标是（2，1），
∴点P的坐标是（2，1）．
∴PA的长为2．
（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为M，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，如图1所示．
∵点A的纵坐标与点B的横坐标相等，
∴OA=AB．
∵∠OAB=90°，
∴∠AOB=∠ABO=45°．
∵∠AOC=90°，
∴∠POC=45°．
∵PM⊥x轴，PN⊥y轴，
∴PM=PN，∠ANP=∠CMP=∠OMP=90°．
∴∠NPM=90°．
∵∠APC=90°．
∴∠APN=90°-∠APM=∠CPM．
在△ANP和△CMP中，
∵∠APN=∠CPM，PN=PM，∠ANP=∠CMP，
∴△ANP≌△CMP．
∴PA=PC．
∴PA：PC的值为1：1．
（3）∵∠ANP=∠MON=∠OMP=90°
∴四边形OMPN为矩形
∵PM=PN
∴四边形OMPN为正方形
∵点P到x轴的距离为4，
∴PM=PN=4
∴S_{正方形OMPN}=16
∵△ANP≌△CMP．
∴S_△ANP=S_△CMP．
∴S_{四边形AOCP}=S_{正方形OMPN}=16

点评 此题是三角形综合题，考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、矩形和正方形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，等积变换等知识，综合性较强．解（2）的关键时构造全等三角形．