Question

15．已知二次函数y=ax²+$\frac{1}{3}$x-$\frac{5}{3}$的图象交y轴于点C，与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象相交于点A（4，1）．
（1）求a和k的值；
（2）求二次函数图象的顶点B的坐标，并判断点B是否在反比例函数的图象上．

Answer 1

分析 （1）将点A（4，1）分别代入二次函数y=ax²+$\frac{1}{3}$x-$\frac{5}{3}$与反比例函数y=$\frac{k}{x}$，求得a和k即可；
（2）根据顶点的公式（-$\frac{b}{2a}$，$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$）求点B坐标，再进行判断即可．

解答 解：（1）点A（4，1）分别代入二次函数y=ax²+$\frac{1}{3}$x-$\frac{5}{3}$与反比例函数y=$\frac{k}{x}$，
得16a+$\frac{4}{3}$-$\frac{5}{3}$=1，1=$\frac{k}{4}$，
解得a=$\frac{1}{12}$，k=4；
（2）∵a=$\frac{1}{12}$，b=$\frac{1}{3}$，c=-$\frac{5}{3}$，
∴-$\frac{b}{2a}$=-$\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{12}}$×$\frac{1}{2}$=-2，
$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$=$\frac{4×\frac{1}{12}×（-\frac{5}{3}）-（\frac{1}{3}）^{2}}{4×\frac{1}{12}}$=-2，
∴顶点B的坐标（-2，-2），
把x=-2代入y=$\frac{4}{x}$，得y=-2，
∴点B 在反比例函数图象上．

点评 本题考查了二次函数的性质以及反比例函数图象上点的特征，涉及知识点：用待定系数法求二次函数的解析式、反比例函数的解析式，是一道综合题目，难度不大．