Question

5．已知Rt△ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作Rt△ADE（其中AD=AE，∠DAE=90°A、D、E按逆时针排列），连接CE．
（1）如图1，当点D在边BC上时，
①请写出BD和CE之间存在数量关系和位置关系，并说明理由；
②$\sqrt{2}$AC=CE+CD的关系是否成立，并说明理由；
（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，（1）中AC、CE、CD之间存在的数量关系是否成立？若不成立，请直接写出AC、CE、CD之间存在的数量关系，不证明．
（3）如图3，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，补全图形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并直接写出AC、CE、CD之间存在的数量关系，不证明．

Answer 1

分析 （1）①根据AB=AC，∠BAC=90°，AD=AE，∠DAE=90°，证△BAD≌△CAF，推出CE=BD，CE⊥BD即可；
②由△ABC是等腰直角三角形，得到∠ABC=∠ACB=45°，即可得出结论；
（2）求出∠BAD=∠CAE，根据SAS证△BAD≌△CAE，推出BD=CE即可；
（3）画出图形后，根据SAS证△BAD≌△CAE，推出CE=BD即可．

解答 （1）证明：①∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵AD=AE，∠DAE=90°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD与△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE，∠ABC=∠ACE=45°，
∴∠ECB=90°，
∴BD⊥CE；
②由①得BD=CE，
∴BC=$\sqrt{2}$AC，
∵BC=BD+CD=CE+CD，
∴$\sqrt{2}$AC=CE+CD；

（2）解：存在数量关系为：CE=$\sqrt{2}$AC+CD；
理由：由（1）同理可得
在△ABD与△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE，
∴BD=CE，
在等腰直角三角形ABC中，
BC=$\sqrt{2}$AC，
∴BD=BC+CD=$\sqrt{2}$C+CD，
∴CE=$\sqrt{2}$AC+CD；

（3）如图所示：CD=$\sqrt{2}$AC+CE；
理由：由（1）同理
在△ABD与△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE，
∴BD=CE，
在等腰直角三角形ABC中，
BC=$\sqrt{2}$AC，
∴CD=BC+BD=$\sqrt{2}$AC+CE．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，正方形的性质的应用，主要考查学生的推理能力，注意：证明过程类似，题目具有一定的代表性，难度适中．