Question

已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BC=2AD，点E是BC的中点、F是CD上的点，联结AE、EF、AC．
（1）求证：AO•OF=OC•OE；
（2）若点F是DC的中点，联结BD交AE于点G，求证：四边形EFDG是菱形．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,菱形的判定,梯形

专题：

分析：（1）由BC=2AD，点E是BC的中点，可得AD=CE，又由AD∥BC，可得四边形AECD是平行四边形，即可得AE∥CD，继而证得△AOE∽△COF，即可判定AO•OF=OC•OE；
（2）易得EF是△BCD的中位线，则可判定四边形EFDG是平行四边形，又由直角三角形斜边上的中线的性质，证得DG=EG，继而证得四边形EFDG是菱形．

解答：证明：（1）∵BC=2AD，点E是BC的中点，
∴AD=EC=

1

2

BC，
∵在梯形ABCD中，AD∥BC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴AE∥CD，
∴△AOE∽△COF，
∴OA：OC=OE：OF，
∴AO•OF=OC•OE；

（2）∵E是BC的中点，F是CD的中点，
∴EF是△BCD的中位线，
∴EF∥BD，
∵AE∥CD，
∴四边形EFDG是平行四边形，
∵AD∥BC，
∴△ADG∽△EBG，
∴DG：BG=AD：EB=AG：EG，
∵AD=BE=

1

2

BC，
∴AG=EG，DG=BG，
∵∠ABC=90°，
∴BG=GE=

1

2

AE，
∴EG=DG，
∴四边形EFDG是菱形．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线的性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．