如图1.直线y=33x+3与x轴交于点A.与y轴交于点C.以AC为直径作⊙M.点D是劣弧AO上一动点．抛物线y=-33x2+bx+c经过点A.C.与x轴交于另一点B.(1)求抛物线的解析式及点B的坐标,(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P.是|PA-PC|的值最大,若存在.求出点P的坐标,若不存在.请说明理由．(3)连CD交AO于点F.延长CD至G.如图2.使FG=2.试探究当点D运� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

如图1，直线y=

与x轴交于点A，与y轴交于点C，以AC为直径作⊙M，点D是劣弧AO上一动点（D点与A，O不重合）．抛物线y=-

x2+bx+c经过点A、C，与x轴交于另一点B，
（1）求抛物线的解析式及点B的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，是|PA-PC|的值最大；若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）连CD交AO于点F，延长CD至G，如图2，使FG=2，试探究当点D运动到何处时，直线GA与⊙M相切，并请说明理由．

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）直接利用待定系数法求二次函数解析式，进而求出其对称轴和B点坐标；
（2）首先利用待定系数法求一次函数解析式进而得出，此时PA=PB，|PA-PC|的值最大，求出即可；
（3）当D运动到劣弧AO的中点时，直线AG与⊙M相切，利用已知得出△AFG为等边三角形，进而求出∠CAG=30°+60°=90°，即可得出答案．

解答：

解：（1）由y=

得A（-3，0），C（0，

）
将其代入抛物线解析式得：

-3

-3b+c=0

，
解得：

b=-

，
∴y=-

x2-

，
∵对称轴是x=-1，
∴由对称性得B（1，0）；

（2）延长BC与对称轴的交点就是点P，此时PA=PB，|PA-PC|的值最大，
由B（1，0），C（0，

）
设直线BC解析式为：y=kx+d，
故

k+d=0

，
解得：

k=-

，
∴直线BC解析式为：y=-

，
当x=-1时，y=2

，
∴P（-1，2

）；

（3）结论：当D运动到劣弧AO的中点时，直线AG与⊙M相切．
证明：∵在RT△AOC中，tan∠CAO=

，
∴∠CAO=30°，∠ACO=60°，
∵点D是劣弧AO的中点，
∴弧AD=弧OD
∴∠ACD=∠DCO=30°，
∴OF=OCtan30°=1，∠CFO=60°，
∴△AFG中，AF=3-1=2，∠AFG=∠CFO=60°，
∵FG=2，
∴△AFG为等边三角形，
∴∠GAF=60°，
∴∠CAG=30°+60°=90°，
∴AC⊥AG，
∴AG为⊙M的切线．

点评：此题主要考查了切线的判定以及等边三角形的判定与性质以及待定系数法求一次函数、二次函数解析式等知识，利用二次函数对称性得出|PA-PC|的最大值是解题关键．