Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（1，

3

），AB⊥x轴于点B，连结OA，过线段AB上一点F（不与点A重合）的反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象与线段OA交于点E，若直线EF⊥OA，求直线EF的函数解析式．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：综合题

分析：作EH⊥x轴于H，先得到OB=1，AB=

3

，则利用勾股定理计算出OA=2，根据含30度的直角三角形三边的关系得∠A=30°，∠AOB=60°；设F点坐标为（1，a），则AF=

3

-a，在Rt△AEF中可得到EF=

1

2

AF=

3 -a

2

，AE=

3

EF=

3- 3 a

2

，所以OE=AO-AE=

3 a+1

2

，在Rt△OEH中，根据含30度的直角三角形三边的关系得OH=

1

2

OE=

3 a+1

4

，EH=

3

OH=

3a+ 3

4

，则E点坐标为（

3 a+1

4

，

3a+ 3

4

），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征得1•a=

3 a+1

4

•

3a+ 3

4

，解此方程得到得a₁=

3

9

，a₂=

3

（舍去），由此得到E点坐标为（

1

3

，

3

3

），F点坐标为（1，

3

9

），最后利用待定系数法确定直线EF的解析式．

解答：解：作EH⊥x轴于H，如图，
∵点A的坐标为（1，

3

），
∴OB=1，AB=

3

，
而AB⊥x轴，
∴OA=

OB2+AB2

=2，
∴∠A=30°，∠AOB=60°，
设F点坐标为（1，a），则AF=

3

-a，
在Rt△AEF中，∠A=30°，
∴EF=

1

2

AF=

3 -a

2

，
∴AE=

3

EF=

3- 3 a

2

，
∴OE=AO-AE=

3 a+1

2

，
在Rt△OEH中，∠OEH=30°，
∴OH=

1

2

OE=

3 a+1

4

，
∴EH=

3

OH=

3a+ 3

4

，
∴E点坐标为（

3 a+1

4

，

3a+ 3

4

），
∵点E、F都在y=

k

x

的图象上，
∴1•a=

3 a+1

4

•

3a+ 3

4

，
整理得3

3

a²-10a+

3

=0，解得a₁=

3

9

，a₂=

3

（舍去），
∴E点坐标为（

1

3

，

3

3

），F点坐标为（1，

3

9

），
设直线EF的解析式为y=mx+n，
把E（

1

3

，

3

3

），F（1，

3

9

）代入得

1 3 m+n= 3 3 m+n= 3 9

，解得

m=- 3 3 n= 4 3 9

，
所以直线EF的解析式为y=-

3

3

x+

4 3

9

．

点评：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征和含30度的直角三角形三边的关系；会运用因式分解法解一元二次方程和利用待定系数法确定一次函数的解析式．