Question

在平面直角坐标系xOy中，A点坐标为（0，4），C点坐标为（10，0）．若点P在直线y=kx+4上移动时，只存在一个点P使∠OPC=90°，则k的值是

 

．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：设P的横坐标是x，则纵坐标是kx+4，点P在直线y=kx+4上移动时，只存在一个点P使∠OPC=90°，则P一定在以OC为圆心，以OC为直径的圆上，圆心坐标是（5，0），半径是5，根据P到OC的中点的距离等于半径5，即可列方程，且所列方程必须只有一个解，利用一元二次方程，根的判别式即可求解．

解答：解：设P的横坐标是x，则纵坐标是kx+4，
点P在直线y=kx+4上移动时，只存在一个点P使∠OPC=90°，
则P一定在以OC为圆心，以OC为直径的圆上，圆心坐标是（5，0），半径是5．
则（x-5）²+（kx+4）²=25，
即（k²+1）x²+（8k-10）x+16=0，
△=-160k+36=0，
解得：k=

9

40

．
故答案是：

9

40

．

点评：本题考查了一次函数与圆以及一元二次方程的综合，理解P一定在以OC为圆心，以OC为直径的圆上，圆心坐标是（5，0），半径是5，是关键．