Question

如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=

1

4

x²+bx+c与x轴交于点A、B（点A在点B右侧），与y轴交于点C（0，-3），且OA=2OC．
（1）求这条抛物线的表达式及顶点M的坐标；
（2）求tan∠MAC的值；
（3）如果点D在这条抛物线的对称轴上，且∠CAD=45°，求点D的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据与y轴的交点C的坐标（0，-3）就可以求出OC的值及c的值，进而求出OA的值及A的坐标，由待定系数法就可以求出b的值而求出解析式及定点坐标；
（2）如图1，过点M作MH⊥x轴，垂足为点H，交AC于点N，过点N作NE⊥AM于点E，垂足为点E．在Rt△AHM中，HM=AH=4，就可以求出AM的值，再由待定系数法求出直线AC的解析式，就可以求出点N的坐标，进而求出MN的值，由勾股定理就可以求出ME及NE的值，从而求出AE的值就可以得出结论；
（3）如图2，分类讨论，当D点在AC上方时，根据角之间的关系就可以求出∠D₁AH=∠CAM，当D点在AC下方时，∠MAC=∠AD₂M就可以求出点D的坐标．

解答：解：（1）∵C（0，-3），
∴OC=3．y=

1

4

x²+bx-3．
∵OA=2OC，
∴OA=6．
∵a=

1

4

＞0，点A在点B右侧，抛物线与y轴交点C（0，-3）．
∴A（6，0）．
∴0=

1

4

×36+6b-3，
∴b=-1．
∴y=

1

4

x²-x-3，
∴y=

1

4

（x-2）²-4，
∴M（2，-4）．
答：抛物线的解析式为y=

1

4

x²-x-3，M的坐标为（2，-4）；
（2）如图1，过点M作MH⊥x轴，垂足为点H，交AC于点N，过点N作NE⊥AM于点E，垂足为点E．
∴∠AHM=∠NEM=90°．
在Rt△AHM中，HM=AH=4，由勾股定理，得
AM=4

2

，
∴∠AMH=∠HAM=45°．
设直线AC的解析式为y=kx+b，由题意，得

0=6k+b -3=b

，
解得：

k= 1 2 b=-3

，
∴直线AC的表达式为y=

1

2

x-3．
当x=2时，y=-2，
∴N（2，-2）．
∴MN=2．
∵∠NEM=90°，∠NME=45°，
∴∠MNE=∠NME=45°，
∴NE=ME．
在Rt△MNE中，
∴NE²+ME²=NM²，
∴ME=NE=

2

．
∴AE=AM-ME=3

2

在Rt△AEN中，tan∠MAC=

NE

AE

=

2

3 2

=

1

3

．
答：tan∠MAC=

1

3

；
（3）如图2，①当D点在AC上方时，
∵∠CAD₁=∠D₁AH+∠HAC=45°，且∠HAM=∠HAC+∠CAM=45°，
∴∠D₁AH=∠CAM，
∴tan∠D₁AH=tan∠MAC=

1

3

．
∵点D₁在抛物线的对称轴直线x=2上，
∴D₁H⊥AH，
∴AH=4．
在Rt△AHD₁中，
D₁H=AH•tan∠D₁AH=4×

1

3

=

4

3

．
∴D₁（2，

4

3

）；
②当D点在AC下方时，
∵∠D₂AC=∠D₂AM+∠MAC=45°，且∠AMH=∠D₂AM+∠AD₂M=45°，
∴∠MAC=∠AD₂M．
∴tan∠AD₂H=tan∠MAC=

1

3

．
在Rt△D₂AH中，D₂H=

AH

tan∠AD2H

=4÷

1

3

=12．
∴D₂（2，-12）．
综上所述：D₁（2，

4

3

）；D₂（2，-12）．

点评：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式的运用，一次函数的解析式的运用，二次函数的顶点式的运用，等腰直角三角形的性质的运用，三角函数值的运用，解答时求出函数的解析式是关键，灵活运用等腰直角三角形的性质求解是难点．