Question

8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+3与x轴交于A（3，0），B（-1，0），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点D．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）点P是直线y=-x上的动点，当直线y=-x平分∠APB时，求点P的坐标；
（3）在（2）的结论下，连接AP，在平面内是否存在△A₁O₁P₁，使△A₁O₁P₁≌△AOP（点A₁、O₁、P₁的对应点分别为A、O、P，O₁A₁平行于y轴，点O₁在点A₁上方），且△A₁O₁P₁打两个顶点恰好落在抛物线上？若存在，请求出点A₁的横坐标m，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求得点C的坐标，然后设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），将点C的坐标代入求得a的值，然后利用配方法求得抛物线的顶点坐标即可；
（2）连接PB、PA，PA交y轴于点D．首先证明△POD≌△POB，OD=OB=1，于是可求得D（0，1），然后可求得直线PD的解析式，最后将直线PD与y=-x联立求得点P的坐标即可；
（3）①O₁A₁平行于y轴，点O₁与A₁不能同时在抛物线上；②当点O₁与P₁同时在抛物线上时，设点A₁的坐标为（m，-m²+2m+3）则P₁（m+$\frac{3}{2}$，-m²+2m+3+4.5）或P₁（m-$\frac{3}{2}$，-m²+2m+3+4.5）．将点P₁的坐标代入即可可求得m的值，当点A₁与P₁同时在抛物线上时，用含m的式子表示点P₁的坐标，将点P₁的坐标代入即可可求得m的值．

解答 解：（1）令x=0得：y=3，
∴C（0，3）．
设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），将点C的坐标代入得：-3a=3，解得a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3．
∵y=-x²+2x+3=-（x²-2x+1-1）+3=-（x-1）²+4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，4）．
（2）如图1所示：连接PB、PA，PA交y轴于点D．

∵直线OP的解析式为y=-x，
∴∠POD=∠POB．
在△POD和△POB中$\left\{\begin{array}{l}{∠DPO=∠BPO}\\{OP=OP}\\{∠POD=∠POB}\end{array}\right.$，
∴△POD≌△POB．
∴OD=OB=1．
∴D（0，1）．
设PD的解析式为y=kx+1，将点A（3，0）代入得：3k+1=0，解得：k=-$\frac{1}{3}$．
∴直线PD的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x+1．
将y=-x与y=-$\frac{1}{3}$x+1联立，解得：x=-$\frac{3}{2}$，y=$\frac{3}{2}$．
∴点P的坐标为（-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）．
（3）①∵O₁A₁平行于y轴，
∴点O₁与A₁不能同时在抛物线上．
②当点O₁与P₁同时在抛物线上时，设点A₁的坐标为（m，-m²+2m+3）则P₁（m+$\frac{3}{2}$，-m²+2m+3+4.5）或P₁（m-$\frac{3}{2}$，-m²+2m+3+4.5）．
将点P₁的坐标代入抛物线的解析式得：-（m-$\frac{3}{2}$）²+2（m-$\frac{3}{2}$）+3=-m²+2m+3+4.5或：-（m+$\frac{3}{2}$）²+2（m+$\frac{3}{2}$）+3=-m²+2m+3+4.5．
解得：m=$\frac{13}{4}$或m=-$\frac{5}{4}$．
③当点A₁与P₁同时在抛物线上时，则O₁的坐标为（m，-m²+2m+3）则P₁（m+$\frac{3}{2}$，-m²+2m+3+1.5）或P₁（m-$\frac{3}{2}$，-m²+2m+3+1.5）．
将点P₁的坐标代入抛物线的解析式得：-（m-$\frac{3}{2}$）²+2（m-$\frac{3}{2}$）+3=-m²+2m+3+1.5或：-（m+$\frac{3}{2}$）²+2（m+$\frac{3}{2}$）+3=-m²+2m+3+1.5．
解得：m=$\frac{9}{4}$或m=-$\frac{1}{4}$．
综上所述，点A₁的横坐标m的值为m=$\frac{13}{4}$或m=-$\frac{5}{4}$或m=$\frac{9}{4}$或m=-$\frac{1}{4}$．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，全等三角形的判定和性质，点的坐标与函数解析式的关系，用含m的式子表示点P₁的坐标是解题的关键．