Question

18．如图，菱形ABCD的边长为5，sin∠ABC=$\frac{4}{5}$，则对角线BD的长为4$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 根据菱形的性质可知AC⊥BD，解三角形求出BO的长，利用勾股定理求出AO的长，即可求出AC的长．

解答 解：作AE⊥BC于E，连接AC，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO=$\frac{1}{2}$AC，BO=DO=$\frac{1}{2}$BD，AB=BC=5，
在Rt△ABE中，∵AB=5，sin∠ABC=$\frac{4}{5}$，
∴sin∠ABC=$\frac{AE}{AB}$=$\frac{4}{5}$，
∴AE=5，
∴BE=$\sqrt{A{B}^{2}-A{E}^{2}}$=3，
∴CE=BC-BE=2，
∴AC=$\sqrt{A{E}^{2}+C{E}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵△ABC的面积=$\frac{1}{2}$BC•AE=$\frac{1}{3}$AC•BO，
∴BO=$\frac{BC•AE}{AC}$=$\frac{5×4}{2\sqrt{5}}$=2$\sqrt{5}$，
∴BD=2BO=4$\sqrt{5}$．
故答案为：4$\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查了菱形的性质、勾股定理、解直角三角形的知识；解答本题的关键是掌握菱形的对角线互相垂直平分，此题难度不大．