Question

7．在△ABC中，
（1）如图1，点E，F分别是AC，AB上一点，若BE，CF相交于点G，请说明∠BGC=∠1+∠A+∠2；
（2）如图2，若BE，CF分别是AC，AB上的高，请说明∠1=∠2理由；
（3）如图3，若∠ABC，∠ACB，∠BAC的角平分线BE，CF，AD相交于点G，则：
①∠1+∠2+∠3=90°；
②若过点G作GH⊥BC于点H，发现∠BGD=∠CGH，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的外角性质，求得∠BGC=∠BGP+∠CGP，据此进行计算即可；
（2）根据BE，CF分别是AC，AB上的高，可得△ABE和△ACF是直角三角形，进而得出∠1+∠A=∠2+∠A=90°，据此可得∠1=∠2；
（3）根据∠ABC，∠ACB，∠BAC的角平分线BE，CF，AD相交于点G，可得∠1+∠2+∠3=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB+∠BAC），据此进行计算即可；②根据∠BGD是△ABG的外角，得出∠BGD=∠1+∠3=$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠BAC=90°-$\frac{1}{2}$∠ACB，再根据CF平分∠ACB，GH⊥BC，可得Rt△CHG中，∠CGH=90°-∠GCH=90°-$\frac{1}{2}$∠ACB，进而得到∠BGD=∠CGH．

解答 解：（1）∵如图1，连接AG并延长至P，
∵∠BGP是△ABG的外角，
∴∠BGP=∠1+∠BAP，
同理可得，∠CGP=∠2+∠CAP，
∴∠BGC=∠BGP+∠CGP=∠1+∠BAP+∠2+∠CAP=∠1+∠A+∠2；

（2）∵如图2，BE，CF分别是AC，AB上的高，
∴△ABE和△ACF是直角三角形，
∴∠1+∠A=∠2+∠A=90°，
∴∠1=∠2；

（3）①如图3，∵∠ABC，∠ACB，∠BAC的角平分线BE，CF，AD相交于点G，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠2=$\frac{1}{2}$∠ACB，∠3=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴∠1+∠2+∠3=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB+∠BAC）=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
故答案为：90°；

②∵∠BGD是△ABG的外角，
∴∠BGD=∠1+∠3=$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠BAC
=$\frac{1}{2}$（180°-∠ACB）=90°-$\frac{1}{2}$∠ACB，
∵CF平分∠ACB，
∴∠GCH=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∵GH⊥BC，
∴Rt△CHG中，∠CGH=90°-∠GCH=90°-$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠BGD=∠CGH．

点评 本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是掌握：三角形内角和等于180°．解决第（3）问的难点在于将∠BGD和∠CGH都用90°-$\frac{1}{2}$∠ACB表示出来．