Question

12．如图，AB为?O的直径，点P在?O上，AP=6，AB=10，PQ平分∠APB，则PQ=$\frac{97\sqrt{2}}{15}$．

Answer 1

分析 直接利用勾股定理得出PB的长进而得出AQ，BQ的长，再利用相似三角形的判定与性质得出PE，EQ的长，进而得出答案．

解答 解：连接AQ，BQ，
∵AP=6，AB=10，
∴PB=8，
∵PQ平分∠APB，
∴∠APQ=∠BPQ，
∴AQ=BQ，
∵AB为?O的直径，
∴△AQB是等腰直角三角形，
∵AB=10，
∴AQ=BQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×10=5$\sqrt{2}$，
∵∠PAB=∠PQB，∠APE=∠BPQ，
∴△APE∽△QPB，
∴$\frac{AP}{BQ}$=$\frac{PE}{PB}$，
∴$\frac{6}{5\sqrt{2}}$=$\frac{PE}{8}$，
解得：PE=$\frac{24\sqrt{2}}{5}$，
∵∠PAB=∠PQB，∠PEA=∠BEQ，
∴△PAE∽△BQE，
∴$\frac{PA}{BQ}$=$\frac{PE}{BE}$=$\frac{AE}{EQ}$，
∴$\frac{6}{5\sqrt{2}}$=$\frac{\frac{24\sqrt{2}}{5}}{BE}$，
解得：BE=8，
则AE=2，
∴$\frac{6}{5\sqrt{2}}$=$\frac{2}{EQ}$，
解得：EQ=$\frac{5\sqrt{2}}{3}$，
故PQ=PE+EQ=$\frac{24\sqrt{2}}{5}$+$\frac{5\sqrt{2}}{3}$=$\frac{97\sqrt{2}}{15}$．
故答案为：$\frac{97\sqrt{2}}{15}$．

点评 此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及圆周角定理，正确应用相似三角形的性质是解题关键．