Question

如图，在⊙O中，

AB

=

AC

，∠ACB=60°．
（1）求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC；
（2）若D是

AB

的中点，求证：四边形OADB是菱形．

Answer 1

考点：圆心角、弧、弦的关系,菱形的判定,圆周角定理

专题：证明题

分析：（1）根据圆心角、弧、弦的关系，由

AB

=

AC

得AB=AC，加上∠ACB=60°，则可判断△ABC是等边三角形，所以AB=BC=CA，于是根据圆心角、弧、弦的关系即可得到∠AOB=∠BOC=∠AOC；
（2）连接OD，如图，由D是

AB

的中点得

AD

=

BD

，则根据圆周角定理得∠AOD=∠BOD=∠ACB=60°，易得△OAD和△OBD都是等边三角形，则OA=AD=OD，OB=BD=OD，所以OA=AD=DB=BO，于是可判断四边形OADB是菱形．

解答：证明：（1）∵

AB

=

AC

，
∴AB=AC，
∵∠ACB=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=CA，
∴∠AOB=∠BOC=∠AOC；
（2）连接OD，如图，
∵D是

AB

的中点，
∴

AD

=

BD

，
∴∠AOD=∠BOD=∠ACB=60°，
又∵OD=OA，OD=OB，
∴△OAD和△OBD都是等边三角形，
∴OA=AD=OD，OB=BD=OD，
∴OA=AD=DB=BO，
∴四边形OADB是菱形．

点评：本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了菱形的判定、等边三角形的判定与性质和圆周角定理．