Question

20．如图，△AOB为等腰直角三角形，∠AOB=90°，C是线段AB上一点，连接OC，作OG⊥OC，且OC=OG，连接AG，取CF=FB，连OF交AG于H，求证：OH⊥AG．

Answer 1

分析 如图，延长OF到M，使得OF=FM，连接CM，BM．只要证明△AOG≌△OBM，可得∠1=∠2，由∠1+∠3=90°，即可推出∠2+∠3=90°，即∠OHG=90°．

解答 证明：如图，延长OF到M，使得OF=FM，连接CM，BM．

∵FC=FB，OF=FM，
∴四边形OCMB是平行四边形，
∴OC=BM=OG，OC∥BM，
∴∠CBM=∠OCB=∠OAB+∠AOC，
∴∠OBM=OBA+∠CBM=∠OAB+∠AOC=90°+∠AOC，
∵∠AOG=90°+∠AOC，
∴∠AOG=∠OBM，
∵OA=OB，OG=BM，
∴△AOG≌△OBM，
∴∠1=∠2，
∵∠1+∠3=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠OHG=90°，
∴OH⊥AG．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．