Question

19．如图，AB是⊙O的切线，A为切点，OB交⊙O于点C，过点C作CD∥OA分别交⊙O、AB于点D、E，若点C是OB的中点，且⊙O的半径为2，则DE的长为3．

Answer 1

分析 如图，连接AC，只要证明△ODC是等边三角形，CE是△AOB的中位线即可解决问题．

解答 解：如图，连接AC．

∵AB是切线，
∴OA⊥AB，
∵DC∥OA，OC=CB，
∴AE=EB，DE⊥AB，
∴CA=CB，
∴∠ACE=∠BCE，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵∠CAE+∠ACE=90°，∠CAE+∠OAC=90°，
∴∠ACE=∠OAC=∠OCA，∵∠BCE=∠OCD，
∴∠OCD=∠OCA=∠ACE=60°，
∴△ODC是等边三角形，
∴CD=OD=2，
∵CE=$\frac{1}{2}$OA=1，
∴DE=CD+CE=2+1=3．
故答案为3．

点评 本题考查切线的性质、平行线等分线段定理、等边三角形的判定和性质、三角形的中位线定理．等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．