Question

9．如图，小明作出△A₁B₁C₁，称为第一次操作，分别取△A₁B₁C₁的三边中点A₂，B₂，C₂，作出△A₂B₂C₂，称为第二次操作，用同样的方法，作出△A₃B₃C₃，称为第三次操作，…，第n次操作后，△A_nB_nC_n的面积S_n与△A₁B₁C₁的面积S₁之间的数量关系是S_n=$\frac{1}{{4}^{n-1}}$S₁．

Answer 1

分析 根据三角形中位线定理和相似三角形的性质得到△A₂B₂C₂∽△A₁B₁C₁，相似比为$\frac{1}{2}$，S₂=$\frac{1}{4}$S₁，根据规律解答．

解答 解：∵点A₂，B₂，C₂是△A₁B₁C₁的三边中点，
∴B₂C₂=$\frac{1}{2}$B₁C₁，
同理A₂C₂=$\frac{1}{2}$A₁C₁，B₂A₂=$\frac{1}{2}$B₁A₁，
∴△A₂B₂C₂∽△A₁B₁C₁，相似比为$\frac{1}{2}$，
∴S₂=$\frac{1}{4}$S₁，
∴S₃=$\frac{1}{4}$S₂，
∴S₃=$\frac{1}{{4}^{2}}$S₁，
则S_n=$\frac{1}{{4}^{n-1}}$S₁，
故答案为：S_n=$\frac{1}{{4}^{n-1}}$S₁．

点评 本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．