Question

14．如图，⊙O过?ABCD的顶点A，D，C，边AB与⊙O相切于点A，边BC与⊙O相交于点H．
（1）求证：AB=AH；
（2）若AB=2，AD=$\sqrt{17}$，求sin∠BAH的值．

Answer 1

分析 （1）根据圆内接四边形可知：∠AHB=∠D，由平行四边形的性质可知：∠B=∠D，从而可证明AB=AH．
（2）连接OA并延长OA交CD于E，交⊙O于点F，连接HF，由垂径定理可求出DE=1，由勾股定理可求AE，从而可求出AF的长度，易证∠BAH=∠F，从而可知sin∠BAH=$\frac{AH}{AF}$．

解答 解：（1）圆内接四边形可知：∠AHB=∠D，
由平行四边形的性质可知：∠B=∠D，
∴∠AHB=∠B，
∴AB=AH
（2）连接OA并延长OA交CD于E，交⊙O于点F，连接HF，
∵AB是⊙O的切线，
∴∠BAE=90°，
∵AB∥CD，AB=CD=2，
∴∠AED=90°，
由垂径定理可知：DE=$\frac{1}{2}$CD=1，
∴由勾股定理可知：AE=4，
连接OD
设OA=OD=r，
∴OE=4-r，
在Rt△ODE中，
∴r²=（4-r）²+1，
解得：r=$\frac{17}{8}$，
∴AF=2r=$\frac{17}{4}$，
∵AF是⊙O的直径，
∴∠BAH+∠FAH=∠F+∠FAH=90°，
∴∠BAH=∠F，
∵AB=AH=2，
∴sin∠BAH=sin∠F=$\frac{AH}{AF}$=$\frac{2}{\frac{17}{4}}$=$\frac{8}{17}$

点评 本题考查圆的综合问题，解题的关键是构造辅助线，利用垂径定理以及勾股定理求解，本题属于中等题型．