Question

8．如图，抛物线与直线y=2x-8交于A，B两点，有一直尺平行于y轴移动，直尺两长边所在直线AB和抛物线截得两线段NM、PQ，点P、M在直线AB上且PM=$\sqrt{5}$，设M点的横坐标为m（0＜m＜4）．
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）当m为何值时，以M、N、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由；
（3）在抛物线上的对称轴上是否存在点D使得点D到直线AB和到x轴的距离相等？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先利用一次函数图象上点的坐标特征求出A点和B点坐标，然后把A点和B点坐标代入y=x²+bx+c得关于b、c的方程组，再解方程组求出b、c即可得到抛物线解析式；
（2）作PH⊥MN于H，如图1，证明△PHM∽△BOA，利用相似比得到PH：HM=1：2，则可设PH=x，HM=2x，利用勾股定理计算出PM=$\sqrt{5}$x，所以$\sqrt{5}$x=$\sqrt{5}$，解得x=1，再设M（m，2m-8），则P（m+1，2m-6），接着表示出N（m，m²-2m-8），Q[m+1，（m+1）²-2（m+1）-8]，根据平行线四边形的判定方法当MN=PQ时，以M、N、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，即|m²-2m-8-（2m-8）|=|（m+1）²-2（m+1）-8-（2m-6）|，然后解绝对值方程求出m即可得到满足条件的m的值；
（3）先确定抛物线的对称轴为直线x=1，作AC垂直对称轴于C，对称轴交x轴于E，DF⊥AB于F，AB与对称轴交于点K，如图2，则K（1，-6），C（1，-8），利用勾股定理可计算出AK=$\sqrt{5}$，设D（1，t），则DE=DF=|t|，通过证明△DKF∽△AKC，利用相似比得到|t|：1=（t+6）：$\sqrt{5}$，然后解方程求出t即可得到D点坐标．

解答 解：（1）当x=0时，y=2x-8=-8，则A（0，-8），
当y=0时，2x-8=0，解得x=4，则B（4，0），
把A（0，-8），B（4，0）代入y=x²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{c=-8}\\{16+4b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-8}\end{array}\right.$，
所以抛物线解析式为y=x²-2x-8；
（2）作PH⊥MN于H，如图1，
∵HM∥OA，
∴∠OAB=∠HMP，
∴△PHM∽△BOA，
∴PH：OB=HM：OA，即PH：4=HM：8，
∴PH：HM=1：2，
设PH=x，则HM=2x，
在Rt△PHM中，PM=$\sqrt{{x}^{2}+（2x）^{2}}$=$\sqrt{5}$x，
∴$\sqrt{5}$x=$\sqrt{5}$，解得x=1，即PH=1，HM=2，
设M（m，2m-8），则P（m+1，2m-6），
∴N（m，m²-2m-8），Q[m+1，（m+1）²-2（m+1）-8]，
∵MN∥PQ，
∴当MN=PQ时，以M、N、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，
即|m²-2m-8-（2m-8）|=|（m+1）²-2（m+1）-8-（2m-6）|，
解得m=$\frac{3}{2}$或m=$\frac{3±\sqrt{15}}{2}$，
而0＜m＜4，
∴当m为$\frac{3}{2}$或$\frac{3+\sqrt{15}}{2}$时，以M、N、P、Q为顶点的四边形是平行四边形；
（3）存在．
抛物线的对称轴为直线x=-$\frac{-2}{2×1}$=1，
作AC垂直对称轴于C，对称轴交x轴于E，DF⊥AB于F，AB与对称轴交于点K，如图2，
当x=1时，y=2x-8=-6，则K（1，-6），而C（1，-8），
在Rt△ACK中，AK=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
设D（1，t），则DE=DF=|t|，
∵∠DKF=∠AKC，
∴△DKF∽△AKC，
∴DF：AC=DK：AK，即|t|：1=（t+6）：$\sqrt{5}$，
解得t=$\frac{3-3\sqrt{5}}{2}$或t=$\frac{3+3\sqrt{5}}{2}$，
∴D点坐标为（1，$\frac{3-3\sqrt{5}}{2}$）或（1，$\frac{3+3\sqrt{5}}{2}$）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和平行四边形的判定方法；会利用待定系数法求二次函数解析式；理解坐标与图形性质；能运用相似比计算线段的长或表示线段之间的关系．